- •Руководство к решению задач по алгебре
- •Часть V Элементы теории многочленов
- •1. Элементы теории многочленов
- •2. Свойства операций над многочленами
- •2) Ассоциативна (при перестановке трех слагаемых сумма не меняется): ;
- •3) Для любого многочлена существует многочлен такой, что .
- •3. Деление многочленов
- •4. Делители
- •5. Наибольший общий делитель двух многочленов
- •6. Алгоритм Евклида
- •6. Основная теорема алгебры многочленов
- •7. Схема Горнера
- •Применения схемы Горнера
- •8. Отделение кратных корней многочлена
- •Литература
7. Схема Горнера
Схема Горнера – это алгоритм деления многочлена на линейный множитель .
Пусть дан многочлен . Разделим многочлен на линейный множитель . Для этого составим схему Горнера:
.
Таким образом, , где .
Применения схемы Горнера
Деление многочлена на линейный множитель .
Пример. Разделить многочлен на ( )
.
Таким образом, получили
.
Нахождение значения многочлена в точке :
(остаток от деления на множитель ( ) даёт значение многочлена в этой точке).
Проверка, является ли корнем. Если , то – корень (в нашем случае корнем не является) .
Нахождение кратности корня. Если в схеме Горнера два остатка равны нулю, а третий отличен от нуля, то кратность корня (как в данном случае) равна 2.
-
0
0
Разложение многочлена по степеням ( ).
Пусть дан многочлен . Разложим его в ряд Тейлора:
.
Заметим, что
,
,
…………………………………………….
,
для всех значений ,
поэтому и, следовательно, справедлива следующая формула:
.
Разделим многочлен на линейный множитель :
-
(…)
[…]
Нахождение производных многочлена в точке ( ):
-
1
0
2
7
–2
1
–2
6
–2
1
–4
–2
1
–2
Таким образом, , , .
8. Отделение кратных корней многочлена
Теорема. Корень кратности многочлена является корнем кратности его производной .
Следствие. Простой корень многочлена (т.е. корень кратности один) не является корнем его производной.
Пусть дан многочлен .
Отделением кратных корней для многочлена называется построение такого многочлена , который имеет те же корни, что и , но не имеет кратных корней: .
№ 585 [1]. Отделить кратные множители полиномов:
a) .
1. Вычислим производную: .
2. Найдем :
;
.
Так как , то .
3. Отделим кратные корни многочлена:
.
Следовательно, .
4. Определим кратность корней и . Для этого воспользуемся схемой Горнера (см. п. 7).
-
1
0
– 6
–4
9
12
4
2
1
2
–2
–8
–7
–2
0
2
1
4
6
4
1
0
2
1
6
18
40
81 0
–1
1
3
3
1
0
–1
1
2
1
0
–1
1
1
0
–1
1
0
Очевидно, что – корень кратности 2, а – корень кратности 4.