2.4. Системы счисления и представления данных

Система счисления – совокупность приёмов наименования и записи чисел. В любой системе существует набор базисных чисел, через которые могут быть записаны все остальные.

Различают два три типа систем: аддитивные, позиционные и смешанные. Аддитивные системы – системы, в которых любое число получается путем сложения или вычитания – пример-Римская система счисления. Позиционные системы – системы, в которых значение числа зависит от его положения, которое определяет вес. Например, десятичная, возникновение которой связывают с тем, что на руках 10 пальцев.

Существует система с основанием 60. Использовалась такая система в Древнем Вавилоне. Наследством этой системы в настоящее время является деление времени на 60 минут в часе, 60 секунд в минуте.

Основанием смешанной системы является возрастающая последовательность чисел. Наиболее известной системой такого типа является система представления времени в виде количества суток, часов, минут и секунд. Другим примером может служить набор денежных знаков: для получения нужной суммы необходимо использовать некоторое количество денежных знаков разного достоинства.

В ЭВМ используют три системы счисления: двоичную², восьмеричную и шестнадцатеричную. Неудобством кодирования информации в бинарной системе является громоздкость, поэтому используют восьмеричную либо шестнадцатеричную системы, основаниями которых служат соответственно числа 8 и 16. Для обозначения цифр больше 9 в системе с основанием «16» используются дополнительные знаки: a, b, c, d, e, f.

2.5. Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Для перевода из двоичной в восьмеричную систему счисления число, заданное двоичным кодом, разбивается на триады; в шестнадцатеричную – на кварты. Затем выполняется перевод по таблице соответствия.

Таблица 2

Соответствие чисел в двоичной и шестнадцатеричной системах

X2	X16	X2	X16	X2	X16	X2	X16
0000	0	0100	4	1000	8	1100	c
0001	1	0101	5	1001	9	1101	d
0010	2	0110	6	1010	a	1110	e
0011	3	0111	7	1011	b	1111	f

Для перевода чисел из десятичной системы в систему с другим основанием выполняется последовательное деление числа на основание системы счисления, после чего в обратном порядке записываются остатки от последовательного деления числа на указанное основание.

Пример 2.1. Перевести двоичное число 11001101 в десятичное, восьмеричное, шестнадцатеричное.

11001101₂=1∙2⁷+1∙2⁶+0∙2⁵+0∙2⁴+1∙2³+1∙2²+0∙2¹+1∙2⁰=128+64+0+0+8+4+0+1=205₁₀

11 001 101₂=315₈=3∙8²+1∙8¹+5∙8⁰=192+8+5=205₁₀

1100 1100₂=cd₁₆=12∙16¹+13∙16⁰=192+13=205₁₀