Свойства степени с действительным показателем

1.

2.

3

.

4.

5.

Доказательство. Пусть и – произвольные последовательности рациональных чисел, сходящиеся соответственно к х и у.

1. Рассмотрим последовательность рациональных чисел . Для нее . Применяя свойство степени с рациональным показателем, получаем:

.

2. Применяя свойства степени, получаем: .

3. Из свойств степени с рациональным показателем следует:

.

4. Для рациональных значений х и у свойство 4 было установлено ранее. Рассмотрим остальные случаи.

1) Докажем равенство при I и qQ. Пусть –последовательность рациональных чисел, сходящаяся к . По свойству степени с рациональным показателем имеем (*). Найдем пределы правой и левой частей этого равенства при n .

По определению степени с иррациональным показателем . Отсюда по свойству непрерывности степенной функции получаем .

Из по определению степени с иррациональным показателем следует .

Таким образом, переходя в равенстве (*) к пределу, получаем .

2) Докажем равенство при иррациональных значениях  и . Пусть – произвольная последовательность рациональных чисел, сходящаяся к . По доказанному в 1) имеем: (**). Перейдем к пределу при n  в равенстве (**).

Для левой части, применяя определение степени с иррациональным показателем, получаем .

Для правой части получаем: .

Таким образом, .

3) Аналогично доказывается при rQ и I.

Вывод: формула справедлива при любых R.

5. Опираясь на доказанные свойства, получаем:

.

§ 16. Показательная функция

Определение. Показательной функцией называется функция , где .

Свойства показательной функции ,

1. Область определения. Поскольку для числа его степень определена при любом действительном х, то .

2. Монотонность.

Предложение. Функция , , строго возрастает на своей области определения.

Доказательство. Возьмем произвольные действительные числа х₁ и х₂ такие, что х₁х₂. Поскольку множество рациональных чисел плотно в R, то существуют такие рациональные числа r и q, что . Пусть и – соответственно возрастающая и убывающая последовательности рациональных чисел, для которых и . Тогда и по свойству степени с рациональным показателем (§14, предложение 1) для любого . Переходя в этом неравенстве к пределу при и учитывая, что по определению степени и , получаем: . Таким образом, и, следовательно, функция строго возрастает.

3. Нули функции, промежутки знакопостоянства.

Предложение. Функция , , принимает только положительные значения.

Доказательство. Пусть х – произвольная точка числовой прямой. Возьмем рациональное число , например, . По свойству степенной функции с рациональным показателем для любого (§14, предложение 1). Так как функция , , строго возрастает, то . Предложение доказано.

4. Непрерывность.

Лемма. Функция , , непрерывна в точке 0.

Доказательство. Пусть . По свойствам степени . Пусть (х_п) – произвольная числовая последовательность, сходящаяся к 0. Требуется доказать, что . Учитывая свойство плотности множества рациональных чисел в R, образуем последовательность рациональных чисел, для которой ( ). Поскольку , то . Из определения степени действительного числа следует, что . Так как функция при строго возрастает на R и , то для любого . По теореме о пределе промежуточной последовательности получаем . Предложение доказано.

Предложение. Функция , , непрерывна на R.

Доказательство. Пусть х₀R и (х_п) – произвольная числовая последовательность, сходящаяся к х₀. Докажем, что . Поскольку , то по лемме . Тогда, используя свойства степени, получаем:

.

Теорема доказана.