§ 10. Понятие арифметического корня, его свойства

Рассмотрим уравнение , где , .

Е сли , то уравнение имеет единственное решение х = 0.

Пусть . При нечетном п уравнение имеет единственное решение х₀ . Если п четное, то уравнение имеет два решения x₁ и x₂, одно из которых x₁=а неотрицательно (см. рис.).

Определение. Арифметическим корнем п-ой степени из числа , обозначаемым , называется неотрицательное число, п-ая степень которого равна b.

Таким образом, для имеем: . Из определения арифметического корня следует, что число является значением степенной функции в точке , следовательно, . Поэтому для функции , , принято также использовать обозначение и ее значения называть корнями п-ой степени (на неотрицательной части числовой прямой это арифметические корни п-ой степени).

Свойства арифметического корня

1.

2

.

3. ,

4.

5.

Доказательство. 1. Тождество следует непосредственно из определения арифметического корня.

2. Обозначим , . По определению корня . По свойствам степени с натуральным показателем . Следовательно, .

3. Доказывается аналогично.

4. Обозначим . По определению корня , отсюда по свойствам степени . Следовательно, .

5. Обозначим х= . Тогда . Возведя обе части равенства в степень п, получаем . Отсюда х= . Тождество доказано.

§ 11. Понятие и свойства степени с рациональным показателем

Пусть - рациональное число, где , а – неотрицательное число, не обращающееся в 0 одновременно с r. При п=1 получаем – степень числа а с целым показателем.

Определение. Степенью действительного числа а с рациональным показателем , (т, п)=1, при называется число, определяемое формулой: ( ).

Замечания.

1. , поскольку значение 0⁰ не определено; а⁰=1 для любого ; 0^r=0 для любого .

2. Для отрицательного числа а степень может быть и не определена. Например, не существует в R.

3. Если существует, то равенство выполняется при любых . При т = 0 оно очевидно. Пусть . Обозначим х= .

1) . Тогда . Возведя обе части этого равенства в степень пт, получаем . Следовательно, х= .

2) . Тогда х=1/ , где . Отсюда

х= .

4. Если , то в определении степени становится необходимым требование взаимной простоты чисел т и п: (т, п) = 1. Действительно, , но при этом значение не определено, а .

Свойства степени с рациональным показателем

1.

2.

3

.

4.

5.

Доказательство. Для целых степеней эти свойства были доказаны ранее. Рассмотрим остальные случаи. Будем пользоваться доказанными ранее свойствами степеней. Пусть .

2. .

3.

4. .

5. .

Замечание. При отрицательных и равных нулю значениях a и b указанные свойства могут и не выполняться. Например, равенство является тождеством при любом . Но при а=-1 левая часть равна -1, а правая не существует.

Определение. Степенной функцией с рациональным показателем r называется функция, определенная формулой .