Структурные преобразования

Передаточная функция цепочки последовательно соединенных звеньев = произведению передаточных функций всех звеньев цепочки.

Передаточная функция параллельно соединенных звеньев = сумме передаточных функций всех звеньев, входящих в параллельное соединение.

Передаточная функция звена, охваченного обратной связью, равна: , «+» относится к ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ, а «–» к ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ обратной связи, обозначения на рисунке ниже.

Перенос узла через звено с входа на выход (т.е. по ходу сигнала)

Перенос узла через звено с выхода на вход (т.е. против хода сигнала)

Перенос сумматора через звено с входа на выход (т.е. по ходу сигнала)

Перенос сумматора через звено с выхода на вход (т.е. против хода сигнала)

Перенос узла через сумматор по ходу сигнала

Перенос сумматора через узел по ходу сигнала

Устойчивость

Необходимое (но недостаточное) условие устойчивости: все знаки при элементах знаменателя ПФ ОДИНАКОВЫ.

Пример: пусть ПФ разомкнутой САУ равна , происходит замыкание единичной положительной обратной связи. Получим: ’ Слагаемые в знаменателе имеют РАЗНЫЕ знаки, САУ неустойчива.

По расположению корней на комплексной плоскости

Правило: в устойчивой САУ все действительные корни уравнения <знаменатель ПФ=0> должны быть отрицательными (на действительной оси комплексной плоскости должны лежать на левой полуоси), все комплексно-сопряженные корни должны иметь отрицательную вещественную часть.

Если хотя бы один действительный корень расположен на правой действительной полуоси или хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней расположена в правой полуплоскости, САУ неустойчива.

Границы устойчивости:

А) Действительный корень равен нулю (находится в начале координат комплексной плоскости) – САУ нейтральна (т.е. выход САУ при снятии входного воздействия не уходит в бесконечность, но и не возвращается к состоянию, которое было до приложения входного воздействия) – апериодическая (иначе – нейтральная) граница устойчивости

Б) Пара комплексно-сопряженных корней является чисто мнимой (действительная часть = 0, корни расположены на мнимой оси) – в САУ возникают незатухающие колебания (т.е. после снятия входного воздействия амплитуда колебаний не уходит в бесконечность, но и не спадает до нуля) – колебательная граница устойчивости

Примеры:

Характерные частоты САУ: (см. также показатели качества по АЧХ, ЛАЧХ)

Частота среза – это значение частоты >0, при которой значение амплитудно-частотной характеристики равно 1 (т.е. A(_c) = 1). Можно определить по логарифмической частотной характеристике: ЛАЧХ пересекает ось абсцисс на частоте среза.

Частота, соответствующая полосе пропускания – это значение частоты, соответствующее условию A(_п) = 0.707 (на полосе пропускания гасится половина энергии сигнала выхода)

Резонансная частота соответствует пику амплитудно-частотной характеристики.

Элементарные звенья и их характеристики

Динамические свойства звена могут быть определены:

по переходной функции и функции веса

Безынерционное звено (иначе – усилительное звено)

Уравнение , где y(t), u(t) – соответственно выход и вход звена, K –коэффициент усиления.

Передаточная функция (ПФ) (здесь K – коэффициент усиления)

Частотная ПФ

Амплитудно-частотная характеристика (то же самое, что модуль частотной ПФ) определяется формулой

Фазовая частотная характеристика

Логарифмическая амплитудная характеристика : – прямая, параллельная абсциссе (наклон = 0)

Апериодическое звено 1-го порядка

Уравнение , где y(t), u(t) – соответственно выход и вход звена, K,Т – соответственно коэффициент усиления и постоянная времени.

Передаточная функция (ПФ)

_{(здесь K – коэффициент усиления, Т – постоянная времени. Свойство: необходимое условие устойчивости одновременно является и достаточным условием.}

Частотная ПФ

Амплитудно-частотная характеристика (то же самое, что модуль частотной ПФ) определяется формулой

Фазовая частотная характеристика

Логарифмическая амплитудная характеристика : (асимптотическая) Начальная часть, до частоты , аппроксимируется прямой, параллельной абсциссе (значение 20lg(K), при K=1 равно 0, т.е. совпадает с абсциссой). При аппроксимируется прямой с отрицательным наклоном (– 20 Дб/декаду). Т.е. характерными параметрами ЛАЧХ при К=0 являются (0; –20)

Логарифмическая фазовая характеристика – при изменении частоты изменяется плавно от 0 до (–90), значение (–45) соответствует сопрягающей частоте _.

Апериодическое звено 2-го порядка (по сути – последовательное соединение двух апериодических звеньев 1-го порядка с постоянными времени T₁, T₂ соответственно).

Уравнение , где y(t), u(t) – соответственно выход и вход звена, K, Т₁,Т₂ – соответственно коэффициент усиления и постоянные времени.

Передаточная функция (ПФ)

Свойство: необходимое условие устойчивости одновременно является и достаточным условием.

Частотная ПФ

Амплитудно-частотная характеристика (то же самое, что модуль частотной ПФ) определяется формулой

Фазовая частотная характеристика

Логарифмическая амплитудная характеристика : (асимптотическая). Без ограничения общности примем, что Т₁ > T₂. Начальная часть, до частоты , аппроксимируется прямой, параллельной абсциссе (значение 20lg(K), при K=1 равно 0, т.е. совпадает с абсциссой). При аппроксимируется прямой с отрицательным наклоном (– 20 Дб/декаду). При аппроксимируется прямой с отрицательным наклоном (–40 Дб/декаду). Т.е. характерными параметрами ЛАЧХ при К=1 являются наклоны (0; –20; –40), сопрягающие частоты

Логарифмическая фазовая характеристика – при изменении частоты изменяется плавно от 0 до (–180)

Колебательное звено 2-го порядка.

Уравнение , где y(t), u(t) – соответственно выход и вход звена, K, Т, – соответственно коэффициент усиления, постоянная времени и коэффициент затухания.

Передаточная функция (ПФ)

Свойство: необходимое условие устойчивости одновременно является и достаточным условием.

Частотная ПФ

Амплитудно-частотная характеристика (то же самое, что модуль частотной ПФ) определяется формулой

Фазовая частотная характеристика

Логарифмическая амплитудная характеристика : При – параллельна оси абсцисс, равна 20lg(K). Имеет резонансный пик при . При аппроксимируется прямой с отрицательным наклоном (– 40 Дб/декаду). Характерные параметры при K =1: наклоны (0; – 40), изменение наклона на сопрягающей частоте

Логарифмическая фазовая характеристика – при изменении частоты изменяется плавно от 0 до (–180)

Консервативное звено.

Уравнение , где y(t), u(t) – соответственно выход и вход звена, K, Т – соответственно коэффициент усиления и постоянная времени.

Передаточная функция (ПФ)

Свойство: звено находится на границе устойчивости колебательного типа (незатухающие колебания с постоянной амплитудой).

Частотная ПФ

Амплитудно-частотная характеристика (то же самое, что модуль частотной ПФ) определяется формулой ; имеет разрыв на резонансной частоте .

Фазовая частотная характеристика (ступенчатое изменение при )

Логарифмическая амплитудная характеристика : Имеет разрыв при . При аппроксимируется прямой с отрицательным наклоном (– 40 Дб/декаду).

Логарифмическая фазовая характеристика

(ступенчатое изменение при )