1. Составим уравнения по законам Кирхгофа в алгебраической и матричной формах.

Согласно составленному дереву графа, у которого 3 ветви, составим 3 уравнения по первому закону Кирхгофа, и 3 уравнения по второму закону Кирхгофа.

- запишем первый закон Кирхгофа в матричной форме:

А*I = - А*J;

где I- матрица-столбец неизвестных токов, J-матрица-столбец токов источников тока.

I ₁ 0 I₁ 0

I ₂ 0 1 0 1 -1 0 0 I₂ 1 0 1 -1 0 0 0

I= I₃ , J= 0 , -1 -1 0 0 0 1 * I₃ = - -1 -1 0 0 0 1 * 0

I₄ 0 0 0 0 1 1 -1 I₄ 0 0 0 1 1 -1 0

I₅ 0 I₅ 0

I₆ J₆ I₆ J₆

- запишем первый закон Кирхгофа в алгебраической форме:

I₁ + I₃ – I₄ = 0,

-I₁ - I₂ + I₆ = J₆,

I₄+ I₅ – I₆ = -J₆.

- запишем второй закон Кирхгофа в матричной форме:

B*U=B*E;

где U- матрица-столбец неизвестных напряжений, Е-матрица-столбец известных источников ЭДС.

R₁*I₁ 0 R₁*I₁ 0

R₂*I₂ Е₂ -1 1 1 0 0 0 R₂*I₂ -1 1 1 0 0 0 Е₂

U= R₃*I₃ , Е= 0 , 1 0 0 1 0 1 * R₃*I₃ = 1 0 0 1 0 1 * 0

R₄*I₄ 0 0 1 0 0 1 1 R₄*I₄ 0 1 0 0 1 1 0

R₅*I₅ 0 R₅*I₅ 0

R₆*I₆ Е₆ R₆*I₆ E₆

- запишем второй закон Кирхгофа в алгебраической форме:

-R₁*I₁ + R₂*I₂ + R₃I₃ = Е₂,

R₁*I₁ + R₄*I₄ + R₆*I₆ = E₆,

R₂*I₂ + R₅*I₅ + R₆*I₆ = E₂₊ E₆.

6. Определим токи в ветвях схемы методом контурных токов.

Данный метод основан на втором законе Кирхгофа.

Перерисуем схему: преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЕДС, выберем произвольно направление токов в ветвях цепи, и произвольно выберем направление обхода контуров.

I₁₁

I₃₃

I₂₂

• Запишем систему уравнений для нахождения контурных токов в общем виде:

R ₁₁* +R₁₂*I₂₂ + R₁₃*I₃₃ = E₁₁,

R₂₁*I₁₁ + R₂₂*I₂₂ + R₂₃*I₃₃ = E₂₂,

R₃₁*I₁₁ + R₃₂*I₂₂ + R₃₃*I₃₃ = E₃₃.

• Выразим собственные и смежные сопротивления контуров:

R₁₁ = R₁ + R₂ + R₃,

R₂₂ = R₂ + R₅+ R₆,

R₃₃ = R₁ + R₄ + R₆,

R₁₂ = R₂₁ = R₂,

R₁₃ = R₃₁ = -R₁,

R₂₃= R₃₂ = R₆.

• Подставим численные значения:

R₁₁ = 20 +50 +100 = 170 Ом,

R₂₂ = 50 + 70 +40 = 160 Ом,

R₃₃ = 20 + 70 +40 = 130 Ом,

R₁₂ = R₂₁ = 50 Ом,

R₁₃ = R₃₁ = -20 Ом,

R₂₃ = R₃₂ = 40 Ом.

• Выразим контурные ЭДС:

E₁₁ = E₂,

E₂₂ = E₂ + E₆ -J₆*R₆,

E₃₃ = E₆ -J₆*R₆.

• Подставим численные значения:

E₁₁ = -80 B,

E₂₂ = -80-10-3*40=-210 B,

E₃₃ = -10-3*40=-130 B.

- Составим систему уравнений для нахождения контурных токов

( R₁ + R₂+ R₃)*I₁₁ + R₂*I₂₂ - R₁*I₃₃ = E₂,

R₂*I₁₁ + (R₂ + R₅ + R₆)*I₂₂ + R₆*I₃₃ = E₂ + E₆- J₆*R₆,

-R₁*I₁₁ + R₆*I₂₂ + (R₁ + R₄ + R₆)*I₃₃ = E₆- J₆*R₆.

- Подставим численные значения:

Решим данную систему уравнений, используя программу Gauss, получим значения контурных токов:

I₁₁ = -0.24293 А,

I₂₂ = -1.05868 А,

I₃₃ = -0.71163 А.

- Выразим все истинные токи через контурные токи:

I₁ = -I₁₁ + I₃₃,

I_{2 =} I₁₁ + I₂₂,

I₃ = I₁₁,

I₄ = I₃₃,

I₅ = I₂₂,

I₆ = I₂₂ + I_{33 +} J₆,

- Подставим численные значения:

I₁ = 0.24293 -0.71163 = -0.4687 A,

I₂ = -0.24293 -1.05868 =-1.30161 A,

I₃ = -0.24293 A,

I₄ = -0.71163 A,

I₅ = -1.05868 A,

I₆ = -1.05868 -0.71163 +3=1.22969 A.