7. Определим токи в ветвях схемы методом узловых потенциалов.

Данный метод основан на первом законе Кирхгофа и на обобщенном законе Ома. По методу узловых потенциалов можно составить столько уравнений, сколько ветвей у дерева графа, следовательно в нашем случае 3 уравнения. В схеме заземлим нулевой узел (φ₀ = 0 B).

• З апишем систему уравнений для нахождения потенциалов в общем виде:

φ₁*g₁₁ + φ₂*g₁₂ + φ₃*g₁₃ = J₁₁,

φ₁*g₂₁ + φ₂*g₂₂ + φ₃*g₂₃ = J₂₂,

φ₁*g₃₁ + φ₂*g₃₂ + φ₃*g₃₃ = J₃₃.

• Уравнение в матричной форме имеет вид:

φ_кк*g_кк= J_кк

• Посчитаем проводимости ветвей:

g₁₁ = g₁ + g₃ + g₄ ,

g₂₂ = g₄ + g₅ + g₆ ,

g₃₃ = g₂ + g₃ + g₅,

g₁₂ = g₂₁ = - g₄,

g₁₃ = g₃₁ = - g₃,

g₂₃ = g₃₂ = - g₅ ,

- Подставим численные значения:

g₁₁ = 1/ R₁ +1/ R₃ +1/ R₄ =1/ 20 +1/ 100 +1/ 70=0,07428 См,

g₂₂ = 1/ R₄ +1/ R₅ +1/ R₆ =1/ 70 +1/ 70 +1/ 40 =0,05357 См,

g₃₃ = 1/ R₂ +1/ R₃ +1/ R₅ =1/ 50 +1/ 100 +1/ 70 =0,04428 См,

g₁₂ = g₂₁ = - 1/ R₄ =- 1/ 70 =-0,01429 См,

g₁₃ = g₃₁ = - 1/ R₃ =- 1/ 100 =-0,01 См,

g₂₃ = g₃₂ = - 1/ R₅ =- 1/ 70 = -0,01429 См,

• Посчитаем узловые токи:

J₁₁ = 0,

J₂₂ = = -E₆*g₆+ J₆,

J₃₃ = E₂*g₂.

- Подставим численные значения:

J₁₁ = 0 А,

J₂₂ =-(-10/40)+3=3.25 А,

J₃₃ =-80/50=-1.6 А.

• Cоставим систему уравнений для нахождения потенциалов:

φ₁*(1/ R₄ +1/ R₅ +1/ R₆) + φ₂*(- 1/ R₄ ) + φ₃*(- 1/ R₃ ) = 0,

φ₁*(- 1/ R₄ ) + φ₂*(1/ R₄ +1/ R₅ +1/ R_{6 ) +}φ₃*(- 1/ R₅ ) = -E₆*g₆ +J₆,

φ₁*(- 1/ R₃ ) + φ₂*(- 1/ R₅ )+ φ₃*(1/ R₂ +1/ R₃ +1/ R₅ ) = E₂*g₂.

Решим данную систему уравнений, используя программу Gauss, получим значения потенциалов:

φ₁ = 9.37976 B,

φ₂ = 59.19229 B,

φ₃ = -14.91293 B.

• Подсчитаем значения токов по закону Ома:

I₁ = - φ_{1 /}R₁,

I₂ = (-φ₃₊ E_{2) /}R₂,

I₃ = (φ₃ - φ_{1 )/}R₃,

I₄ = (φ₁ - φ_{2 )/}R₄,

I₅ = (φ₃ - φ_2)/R₅,

I₆ = (φ₂ + E_6)/R₆,

- Подставим численные значения:

I₁ = -9.37 /20=-0.4687 А,

I₂ = (14.92 -80)/50=-1.30161 А,

I₃ = (-14.92-9.37 )/100 =-0.2429 А,

I₄ = (9.37-59.19)/70= -0.71163 А,

I₅ =( -14.92-59.19)/70 =-1.05868 А,

I₆ =(59.19-10)/40= 1.22969 А.

8. Проверим правильность расчетов по законам Кирхгофа.

- составим уравнения по первому и второму законам Кирхгофа:

I₁ + I₃ – I₄ = 0,

-I₁ - I₂ + I₆ = J₆,

I₄ + I₅ + I₆ = - J₆,

-R₁*I₁ + R₂*I₂ + R₃I₃ = E₂,

R₁*I₁ + R₄*I₄ + R₆*I₆ = E₆,

R₂*I₂ +R₅*I₅ + R₆*I₆ = E₂ +E₆.

- составим матрицу:

1 0 1 -1 0 0 0

-1 -1 0 0 0 1 3

0 0 0 1 1 -1 -3

-20 50 100 0 0 0 -80

20 0 0 70 0 40 -10

0 50 0 0 70 40 -90

Решим данную систему уравнений, используя программу Gauss, получим значения силы токов:

I₁ = -0.46869 A,

I₂ = -1.30161 A,

I₃ = -0.24293 A,

I₄ = -0.71163 A,

I₅ = -1.05868 A,

I₆ = 1.2297 A.

Эти значения совпадают с со значениями, полученными с помощью методов МКТ и МУП, следовательно, расчеты верны.

9. Составим баланс мощностей.

Баланс мощностей является следствием закона сохранения энергии и является критерием проверки правильности полученных результатов.

Мощность, генерируемая источником ЭДС и тока (сумма алгебраическая), равняется мощности потребляемой приемником.

Для данной схемы:

Е₂*I₂ + E₆*I₆ + J₆*φ₂ = R₁* + R₂* + R₃* + R₄* + R₅* + R₆* ,

-80*(-1.30161) - 10*(1.2297) + 3*(59.19229) = 20*(-0.46869)² +

+50*(-1.30161)² + 100*(-0.24293)² + 70*(-0.71163)² + 70*(-1.05868)² +

+ 40*(1.2297)²,

Посчитаем левую и правую части этого уравнения:

1. -80*(-1.30161)-10*(1.2297)+3*(59.19229)=104,128812,297+177,57687=

269,40867 Вт

2. 20*(-0.46869)² +50*(-1.30161)² + 100*(-0.24293)² + 70*(-0.71163)² + 70*(-1.05868)²+40*(1.2297)²=4,393406322+84,709429605+5,90149849+35,449207983+78,456233968+60,4864836=269,396259968 Вт

Сравним: 269,40867 Вт 269,396259968 Вт, следовательно, наши расчеты верны.