Глава 5. Проверка статистических гипотез. Критерий значимости

§1. Схема применения критерия значимости. Ошибки I и II рода

Постановка задачи

1. Пусть известен закон распределения генеральной совокупности Х, но не известны параметры ( ) этого закона. Пусть также получена точечная (или интервальная) оценка параметра . Выдвигаются:

   • Но: (нулевая гипотеза)

   • Н1 : (левосторонняя альтернативная гипотеза)

   • Н1 : (правосторонняя альтернативная гипотеза)

   • Н1 : (альтернативная двусторонняя гипотеза)

Критерием значимости для параметров гипотез (k) – называется правило, по которому, на основании выборки, можно сделать вывод: принимать гипотезу или не принимать.

Статистикой критерия k называют СВ , по значениям которой можно применить это правило.

Замечание:

• Будем считать события, вероятности которых очень малы, невозможными событиями;

• Будем считать события, вероятность которых велика, достоверными.

2. Задается малое число , где  - уровень значимости (=0,1; 0,01; 0,05; 0,001)

3. Пусть V – это множество значений статистики Z. Тогда обозначим - критическую область:

• Вероятность того, что значения статистики попадают в критическую область (при условии, что выполняется гипотеза Но):

• Вероятность того, что значения статистики не попадают в критическую область, а попадают в область принятия решения « »:

Общая схема проверки параметрических гипотез

1. Выдвигается нулевая (проверяемая) гипотеза Но, а также альтернативные гипотезы: Н1 , Н1 , Н1 .

2. Выбирается уровень значимости  (обычно 0,001; 0,01; 0,05; 0,1).

3. Выбирается статистика Z критерия значимости и соответствующая ей, уровню значимости и проверяемым гипотезам Но, Н1 , Н1 , Н1 критическая область , являющаяся частью области V значений статистики Z. При это будет областью допустимых значений Z.

4. Вычисляется выборочное значение статистики Z (по данной выборке).

5. Критерий (правило) принятия решения:

   • Для левосторонней гипотезы:

Н1 : ; =

Правило принятия решения : Если , то гипотезу Но на уровне значимости  отвергаем в пользу альтернативной. Если , то гипотезу Но принимаем на уровне значимости .

• Для правосторонней гипотезы:

Н1 : ; =

Правило принятия решения : Если , то гипотезу Но на уровне значимости  отвергаем в пользу альтернативной. Если , то гипотезу Но принимаем на уровне значимости .

• Для двусторонней гипотезы:

Н1 : ;

Правило принятия решения : Если , то гипотезу Но на уровне значимости  принимаем на уровне значимости . Если , то гипотезу Но отвергаем в пользу альтернативной.

В общем случае: если , то гипотеза Но отвергается, так как в результате одного лишь испытания, получения выборки произошло практически невозможное событие: с вероятностью . Если  ( ), то гипотеза Но принимается.

Ошибки первого (I) и второго (II) рода

Суждения о принятии или отвержении выдвинутой статистической гипотезы не являются абсолютными, а носят лишь вероятностный характер, т.е. являются правдоподобными. Принимая или отвергая гипотезу, мы можем совершить ошибку.

Ошибкой I рода называется ситуация, когда была принята альтернативная гипотеза, хотя была справедлива гипотеза Но (нулевая). Вероятность совершения ошибки I рода: . Эта формула означает, что гипотеза Но отвергается с вероятностью , хотя она была верна.

Ошибкой II рода называется ситуация, когда была верна альтернативная гипотеза, а приняли гипотезу Но (нулевую).Вероятность совершения ошибки II рода: . Эта формула означает, что принимается гипотеза Но с вероятностью , хотя верна гипотеза Н1.

Замечание:

• Значение вероятности  задается (достаточно малое),а значение вероятности  необходимо находить.

• Принято обозначение : - мощность критерия.

• Вероятность того, что ошибка I рода не совершена:

• Вероятность того, что ошибка II рода не совершена:

• В обоих случаях принято, что под чертой в скобках указывается верная гипотеза.

Связь между ошибками I и II рода

Для того, чтобы проверяемая гипотеза была достаточно обоснованно отвергнута, уровень значимости выбирают достаточно малым; в практике: 0,01; 0,001. Напротив, если делается вывод о принятии гипотезы, то уровень значимости не должен быть очень малым, т.к. в этом случае расширяется область допустимых значений , и даже при неверной гипотезе статистика Z критерия может попасть в эту область за счет случайных колебаний. Будет совершена ошибка второго рода. Уровень значимости в этом случае можно взять равным 0,5; 0,1. Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность забраковать верную гипотезу, т.е. совершить ошибку первого рода, но при этом увеличивается вероятность принятия неверной гипотезы, т.е. совершения ошибки второго рода.