- •П. Случайные величины и их распределения
- •2.1. Случайная величина
- •2.2. Дискретные случайные величины
- •2.3. Непрерывные случайные величины
- •2.4. Преобразование случайных величин
- •2.5. Математическое ожидание случайных величин
- •Дисперсия случайной величины
- •2.7. Моменты случайных величин. Другие числовые характеристики случайных величин
- •2.8. Характеристические функции
- •2.9. Производящие функции
- •Контрольные вопросы
2.2. Дискретные случайные величины
Из теории меры известно, что любая неубывающая функция F(x) может быть представлена в виде суммы трёх функций: абсолютно непрерывной функции , ступенчатой функции и сингулярной функции (непрерывной функции, множество точек роста которой имеет лебегову меру нуль). Следовательно, . В реальных задачах теории вероятностей сингулярная компонента почти не встречается, она представляет собой математическую абстракцию, потому будем полагать . Остановимся на двух крайних случаях: и .
В первом случае F(x) – ступенчатая функция, имеющая в точках cкачки. Величина скачков в этих точках равна соответственно то есть Случайная величина ξ, для которой F(x) является функцией распределения, называется в этом случае дискретной случайной величиной. Числа – это те значения, которые случайная величина принимает при различных , а числа – это вероятности, с которыми сл. величина принимает соответствующие значения
Определение дискретной случайной величины можно дать и не опираясь на её функцию распределения. Случайная величина ξ называется дискретной, если она каждому элементарному исходу ставит в соответствие одно число из конечного или счётного множества чисел , причём вероятность события
Обычно дискретные случайные величины задаются рядом распределения. Это может быть таблица из двух строк, в первой, верхней, строке перечислены все возможные значения случайной величины , а во второй строке проставлены вероятности
Х |
x1 |
x2 |
x3 |
… |
xk |
… |
xn |
… |
P |
р1 |
р2 |
р3 |
… |
рk |
… |
рn |
… |
Очевидны ограничения на числа :
1) 0; 2) (2.3)
Часто вместо таблицы просто указывают для сл. величины всё множество её значений , k=1,2,… , и приводят формулу, по которой можно вычислять вероятности событий для всех . Такой способ задания дискретной сл. величины также называют рядом распределения сл. величины.
Иначе говоря, рядом распределения сл. величины называют соответствие
Если при описании случайной величины ξ применяют какую-нибудь другую её характеристику вместо функции распределения и при этом по этой характеристике возможно однозначно восстановить функцию распределения, то такая характеристика называется законом распределения случайной величины ξ или просто распределением случайной величины. Ряд распределения – это один из законов распределения случайных величин. В разделе 1.11 мы уже использовали термин «распределение» – называли гипергеометрическое распределение, распределение Бозе – Эйнштейна и т.д.
По ряду распределения можно однозначно восстановить функцию распределения:
(2.4)
Пример 1.
Игрок выигрывает очко, если при подбрасывании монеты выпадает герб, и проигрывает очко в противном случае. Записать функцию распределения суммарного выигрыша игрока после двух бросаний монеты.
Решение. Обозначим суммарный выигрыш игрока после двух бросаний монеты через S; возможные значения этой сл. величины -2, 0 и 2, вероятности, с которыми эти значения принимаются сл. величиной равны соответственно. Иначе говоря, распределение сл. величины S выглядит следующим образом:
S |
-2 |
0 |
2 |
P |
0.25 |
0.5 |
0.25 |
Тогда
Пример 2. Техническое устройство состоит из трех узлов, работающих независимо друг от друга. Первый узел отказывает с вероятностью 0.1, второй и третий – с равными вероятностями 0.3. Устройство выходит из строя, если откажет первый узел или второй и третий вместе. Производится испытание до первого отказа, но не более 4 раз. Случайная величина Х – число произведенных испытаний. Требуется найти ряд распределения и функцию распределения сл. величины Х.
Решение. Как следует из условия задачи сл. величина Х может принимать значения Вычислим вероятности : {отказал первый узел или первый узел не отказал, но отказали второй и третий узлы} {прибор не отказал в первом испытании, но отказал во втором испытании}= 0.82·0.18≈0.15;
{прибор не отказал в первых двух испытаниях, но отказал в третьем испытании}= {прибор не отказал в первых трех испытаниях}
Построим ряд распределения для сл. величины Х:
-
Х
1
2
3
4
Р
0.18
0.15
0.12
0.55
Найдем по формуле (2.4) функцию распределения
Рассмотрим некоторые дискретные случайные величины, с которыми будем работать в дальнейшем.
1. В качестве самой простой дискретной сл. величины рассмотрим случайную величину, принимающую единственное значение С. Очевидно, что это значение она принимает с вероятностью, равной единице. Тогда функция распределения сл. величины имеет вид:
2. Не менее простой дискретной сл. величиной является функция, называемая индикатором события А:
.
Рассмотрим сначала один из примеров использования функции . Пусть – дискретное вероятностное пространство и ξ – некоторая сл. величина, принимающая конечное множество значений . Если положить , то ξ можно представить в виде , где события образуют разбиение пространства Ω – они попарно не пересекаются и их сумма равна Ω (т.е. это полная группа событий – см. также п.1.8).
Ряд распределения сл. величины имеет вид:
|
0 |
1 |
Р |
|
|
Функция же распределения выглядит следующим образом:
Пример 3. Выпадение 6 очков при бросании игральной кости назовем событием А. Тогда сл. величина принимает значение 1, если выпадает 6 очков и 0 во всех остальных случаях. Ее ряд распределения имеет вид:
|
0 |
1 |
Р
|
|
|
а функция распределения имеет вид .
3. Распределение Бернулли. Случайная величина ξ имеет распределение Бернулли с параметром , если ξ принимает только два значения 1 и 0 с вероятностями p и q=1–p соответственно.
Ряд распределения этой сл. величины имеет вид
-
ξ
0
1
Р
Q
p
а функция распределения – .
Условное обозначение распределения Бернулли – . Тот факт, что сл. величина ξ имеет распределение Бернулли, обозначается символом: или .
4. Биномиальное распределение. Обратимся к схеме Бернулли. Пусть в этом эксперименте случайная величина ξ – число успехов в серии из n независимых испытаний. Тогда случайная величина ξ может принимать значения . Вероятность события ранее обозначалась нами как P(n,k), теперь мы её будем обозначать просто через . Итак,
. (2.5)
Формула (2.5) определяет распределение дискретной случайной величины, называемое биномиальным законом распределения с параметрами распределения n, p. Для краткости биномиальное распределение обозначают символом В(n,p): имеет место распределение (2.5).
На примере этого закона распределения рассмотрим более подробно, как по нему можно однозначно восстановить функцию распределения F(x). Поскольку , то для всех событие – невозможное, значит . Если , то событие состоит из тех и только тех элементарных исходов ω, для которых , следовательно, Если , то событие состоит из тех элементарных исходов ω, для которых или , следовательно , и т. д.
Наконец, при событие достоверное событие и Сведем результаты в одну формулу:
Очевидно, что описание случайной величины формулой (2.5) выглядит проще, чем описание ее с помощью функции распределения.
Пример 4. На зачете студент получил четыре задачи. Вероятность решить каждую задачу правильно равна 0.4. Пусть ξ – число правильно решенных задач. Описать закон распределения сл. величины .
Решение. По содержанию задачи случайная величина ξ может быть описана биномиальным законом распределения, решенная правильно задача – успех. По формуле (2.5) , это ряд распределения сл. величины ξ. Однако, в реальной задаче, когда интерес представляют значения вероятностей , ряд распределения удобно представить таблицей
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
P |
0.1296 |
0.3456 |
0.3456 |
0.1536 |
0.0256 |
5. Геометрическое распределение. Снова рассмотрим схему Бернулли. Пусть ξ – число испытаний, которое необходимо провести, прежде чем появится первый успех. Предполагается, что в каждом отдельном испытании успех достигается с вероятностью р. Очевидно, что случайная величина ξ может принимать счетное множество значений k=0, 1, 2, 3, …, n, … Определим вероятность события . Если , то в первых k испытаниях появилась неудача, а в (k+1)–м испытании – успех. Как дальше будут развиваться события при изучении этой случайной величины нас не интересует. Элементарный исход выглядит в этом случае так: . Следовательно, Проверим равенство : .
Итак:
(2.6)
Случайная величина ξ с законом распределения (2.6) носит название случайной величины, распределенной по геометрическому закону с параметром р. Для краткости закон распределения обозначают символом G(p).
Пример 5. Вероятность успешно провести физический опыт (получить ожидаемый эффект) равна 0.8. Пусть ξ – число “пустых” опытов, прежде чем экспериментатор получит ожидаемый эффект. Описать закон распределения сл. величины .
Решение. ξ – дискретная случайная величина, имеющая геометрическое распределение. Формула (2.6) полностью описывает эту случайную величину при p=0.8, это ее ряд распределения. Изобразим его в виде таблицы:
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
…. |
P |
0.8 |
0.16 |
0.032 |
0.0064 |
0.00128 |
…. |
Замечание. В литературе по теории вероятностей случайную величину ξ – номер первого успеха в серии из n независимых одинаковых испытаний – также считают распределенной по геометрическому закону:
Пусть ξ имеет геометрическое распределение. Тогда:
Cвойство сл. величины, выражаемое полученным равенством, называется отсутствием последействия. Его можно интерпретировать следующим образом. Пусть длительность телефонного разговора есть целочисленная величина, и в начале каждой минуты с вероятностью р принимается решение разговор закончить и с вероятностью 1–р = q принимается решение разговор продолжать. Тогда полученное равенство означает, что условная вероятность того, что разговор будет продолжаться n+m минут, если известно, что он не закончился за n минут, совпадает с вероятностью того, что разговор будет продолжаться m минут. Среди дискретных сл. величин только геометрическое распределение обладает этим свойством.
6. Пуассоновское распределение. В разделе 1.11 мы встречались с формулой Пуассона, ее не надо путать с распределением Пуассона. Случайная величина ξ распределена по закону Пуассона, если она принимает неотрицательные целые значения с вероятностями
(2.7)
где λ >0 – параметр распределения Пуассона, это среднее значение сл. величины (см. п. 2.5). Обозначается распределение символом Ро(λ).
Равенство выполняется:
Это распределение играет важную роль в теории надежности, теории массового обслуживания и т.д.
Пример 6. При работе аппарата возникают сбои. Количество сбоев за сутки – сл. величина ξ, распределенная по закону Пуассона или Среднее число сбоев за сутки равно 1.5. Определить вероятности событий A = {в течение суток произошел хотя бы один сбой}, В = {за двое суток не будет ни одного сбоя}.
Решение. Из условия задачи и замечания к формуле (2.7) следует, что λ=1.5,
7. Гипергеометрическое распределение. С этим распределением мы уже встречались – см. примеры 17, 40 раздела 1.