Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТВ 2 - в РИО.doc

Скачиваний:

Добавлен:

14.11.2019

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 74 5 6 7 > Следующая >>>

2.4. Преобразование случайных величин

Пусть имеется случайная величина с плотностью вероятности и имеется некоторая функция сл. величины : . Ставится задача нахождения закона распределения сл. величины

1. Рассмотрим сначала случай, когда – непрерывная и монотонная функция. Непрерывность функции означает измеримость (см. замечание 3 п. 2.1), а монотонность – существование обратной функции , также непрерывной и монотонной того же типа монотонности, что и функция .

Сначала найдем функцию распределения случайной величины η: (полагаем функцию неубывающей)= . Полученное равенство продифференцируем по y, получим .

Если невозрастающая функция, то вычисления дают следующий результат:

Запишем результат вычисления производной функции F(g(y)) для того и другого типа монотонности функции одним выражением: Тогда

(2.11)

где , если .

Замечание. Для вычислений можно не вводить обозначения g(y) обратной функции, можно вместо x=g(y) писать соотношение: , тем самым полагая, что сл. величина ξ принимает значения х, а сл. величина η – значения y, и эти величины связаны соотношением y=φ(x), тогда формула (2.11) примет вид: .

Пример 12. Случайная величина ξ распределена по экспоненциальному закону с параметром λ ( ), η = –lnξ. Найти .

Решение. Плотность распределения сл. величины ξ известна: , если x≥0, и , если х <0. Функция η – непрерывная, убывающая, обратная функция существует и имеет вид: . Для значений этих случайных величин получим аналогичные соотношения: иначе

По формуле (2.11) (точнее, по замечанию к ней) запишем выражение для :

2. Снимем с функции φ(x) условие монотонности, пусть φ – произвольная непрерывная функция. Тогда, если уравнение y=φ(x) имеет конечное число корней

, то событие представимо в виде , здесь и – те две соседние точки, являющиеся корнями уравнения y=φ(x), между которыми выполняется соотношение φ(x)<y, при этом функция y=φ(x) в правосторонней окрестности точки убывает, в левосторонней же окрестности точки возрастает. Обозначим множество таких точек ( и для различных значений k) через Κ. Для функции распределения на интервале получим выражение

Согласно формуле (2.11), в каждой точке и концов интервала для функции имеем соотношения и , следовательно, для всех точек , получаем

(2.12)

Пример 13. Пусть случайная величина распределена по закону Коши, , , . Найти .

Решение. , тогда

Итак, , .

При решении задачи мы повторили схему вывода формулы (2.12), можно было просто сразу этой формулой воспользоваться: решаем уравнение , при этом , тогда

2.5. Математическое ожидание случайных величин

Как было отмечено выше, описание случайной величины с помощью функции распределения или плотности распределения является самым полным, самым подробным. Но задачи получения закона распределения даже простейших функций случайных величин приводят к вычислениям сложных интегралов. Кроме того, эмпирическое (опытное) определение функции распределения случайной величины требует большого числа измерений (несколько сотен).

Поэтому возникает необходимость в описании случайных величин другим способом, пусть не таком полном и подробном, характеризующим только некоторые свойства случайных величин, но зато более простом.

Такое достаточно простое описание случайной величины дают числовые характеристики случайных величин. Они многочисленны и могут быть разбиты на группы. Здесь мы рассмотрим так называемые характеристики положения случайной величины. Характеристика положения – это число, около которого группируются значения случайной величины, оно является её наиболее типичным значением. Из всех характеристик положения важнейшей является математическое ожидание случайной величины (иначе – среднее значение случайной величины).

Пусть – некоторое вероятностное пространство, и случайная величина, заданная на этом пространстве.

Определение. Математическим ожиданием случайной величины называется число

(2.13)

Интеграл в правой части равенства понимается в смысле Лебега (по мере Лебега).

Для математического ожидания используются и другие обозначения, кроме обозначения , а именно: .

Для вычисления математического ожидания приведенная формула не годится. В работе [1] доказано соотношение

(2.14)

Правый интеграл в равенстве (2.14) – интеграл в смысле Лебега–Стилтьеса.

Доказательство этого соотношения опирается на тот факт, что случайная величина, заданная на вероятностном пространстве , индуцирует на измеримом пространстве вероятностную меру , при этом .

Пусть измеримая функция. Математическим ожиданием случайной величины называется число

(2.15)

На соотношение (2.15) следует обратить особое внимание! Не зная распределения случайной величины η, значение ее математического ожидания, тем не менее, вычислить можно, если имеет место соотношение .

Частные случаи.

1. – дискретная случайная величина с конечным или счетным множеством значений , которые она принимает с вероятностями .

(2.16)

Формула (2.16) справедлива, если сходится абсолютно ряд , т.е. , иначе полагают, что сл. величина не имеет математического ожидания.

2. Пусть теперь – непрерывная случайная величина. Тогда почти всюду на области определения сл. величины, тогда

(2.17)

Формула корректна, если , иначе математическое ожидание не существует.

Аналогичные выражения получим для

Поясним вероятностный смысл математического ожидания на примере дискретной сл. величины. Пусть в результате Ν независимых опытов для сл. величины Х получены значения: значений , значений ,…, значений , . Рассмотрим среднее арифметическое этих значений . При этом число можно интерпретировать как относительную частоту события , и при большом числе испытаний Ν она близка к вероятности этого события. Поэтому среднее арифметическое приблизительно равно Отсюда и второе название для математического ожидания – среднее значение сл. величины.

Пример 14. Найдем математическое ожидание равномерно распределенной на отрезке [a,b] случайной величины .

Решение. Поскольку , то формула (2.17) дает результат: совпадает с центром (серединой) отрезка [a,b].

Пример 15. Вычислим математическое ожидание случайной величины ξ, если имеет нормальное распределение с параметрами m и σ.

Решение.

, где – плотность распределения стандартной нормальной случайной величины и по свойству 2 плотностей распределения . Первое слагаемое после замены переменных равно нулю как интеграл по симметричному промежутку от нечетной функции. Итак, , откуда и пошло название параметра m – среднее значение (второе название математического ожидания).