- •Элементы теории функции комплексного переменного
- •§1. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции
- •§3. Основные элементарные функции комплексного переменного
- •6. Обобщенные степенная и показательная функции
- •§3. Производная функции комплексного переменного. Аналитические функции. Понятие о конформном отображении
- •§4. Интеграл от функции комплексного переменного
- •§5. Ряды Тейлора и Лорана
- •§6. Изолированные особые точки функции комплексного переменного
- •§7. Вычеты и их применение к вычислению контурных интегралов
§5. Ряды Тейлора и Лорана
Функция , однозначная и аналитическая в точке , разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд
, (1)
коэффициенты которого определяются по формулам
или . (2)
Этот ряд называется рядом Тейлора для функции .
Радиус круга сходимости ряда Тейлора (1)-(2) равен расстоянию от точки до ближайшей к особой точки функции .
Приведем разложения в ряды Тейлора некоторых элементарных функции в окрестности точки .
,
, ,
, , (3)
, .
Функция , однозначная и аналитическая в кольце (не исключаются случаи, когда ), разлагается в этом кольце в обобщенный степенной ряд
, (4)
коэффициенты которого определяются по формулам
. (5)
Этот ряд называется рядом Лорана функции .
В формуле (4) называется главной частью ряда Лорана, а ряд называется правильной частью ряда Лорана.
Формула (5) неудобна для вычисления коэффициентов ряда Лорана, поэтому часто для разложения функции в ряд Лоран пользуются искусственными приемами, которые будут рассмотрены на примерах. Ряды Тейлора и Лорана функции определяются единственным образом. Эти ряды в области сходимости можно почленно дифференцировать и интегрировать.
§6. Изолированные особые точки функции комплексного переменного
В зависимости от проведения функции в окрестности особой точки различают три типа особенностей.
Изолированная особая точка функции называется:
а) устранимой особой точкой, если существует конечный предел
, (1)
б) полюсом, если , (2)
причем полюсом -го порядка, если
, (3)
и простым полюсом при ;
в) существенно особой точкой, если не существует (ни конечный, ни бесконечный).
Имеют место следующие утверждения:
1. Для того, чтобы изолированная особая точка функции была устранимой, необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение в окрестности точки не содержало главной части, т.е. имело вид
. (4)
2. Для того, чтобы изолированная особая точка функции была полюсом -го порядка, необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения содержала лишь конечное число членов
, . (5)
3. Для того, чтобы изолированная особая точка функции была существенно особой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения содержала бесконечно много членов.
Пример 1. Особой точкой функции является точка . Разложение этой функции в ряд Лорана имеет вид:
Так как главная часть отсутствует, то является устранимой особой точкой.
Пример 2. Особой точкой функции является точка . Разложение этой функции в ряд Лорана имеет вид:
Главная часть состоит из двух слагаемых, поэтому – полюс второго порядка.
Пример 3. Особой точкой функции является точка . Разложение этой функции в ряд Лорана имеет вид:
Главная часть разложения бесконечна, поэтому – существенно особая точка.●
Точка называется нулем функции , если . Точка называется нулем порядка , если
, а . (6)
Ряд Тейлора в окрестности точки – нуля порядка функции – имеет вид
Теорема. Для того, чтобы точка была нулем порядка функции , необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство
, (7)
где аналитична в точке и .
Для определения порядка нуля функции полезно помнить, что если нуль порядка для и нуль порядка для , то – нуль порядка для произведения , порядка (при ) для частного ; – правильная точка, не являющаяся нулем при и особая точка при .
Теорема. Для того, чтобы точка была полюсом порядка для функции , необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулем порядка для функции .
Рассмотрим особенности функции в бесконечно удаленной точке.
Под точкой понимают абстрактную точку плоскости , окрестностью которой, является множество чисел , удовлетворяющих неравенству , где – любое действительное положительное число.
Ряд Лорана функции в окрестности точки определяют с помощью замены переменной для функции в окрестности точки . Ряд Лорана в окрестности точки имеет вид
,
где главная часть,
правильная часть.
Поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки дает возможность классифицировать ее особенности в этой точке.
1. Точка называется устранимой особой точкой функции, если , где .
Ряд Лорана в этом случае не содержит положительных степеней
.
2. Точка называется полюсом функции, если .
Если ряд Лорана в окрестности содержит конечное число положительных степеней:
,
то точка называется полюсом порядка .
3. Точка называется существенно особой для функции, если не существует.
Ряд Лорана в этом случае содержит бесконечное число положительных степеней .
Заметим, что точка называется нулем порядка функции , если точка является нулем порядка для функции .