- •Элементы теории функции комплексного переменного
- •§1. Функции комплексного переменного. Предел и непрерывность функции
- •§3. Основные элементарные функции комплексного переменного
- •6. Обобщенные степенная и показательная функции
- •§3. Производная функции комплексного переменного. Аналитические функции. Понятие о конформном отображении
- •§4. Интеграл от функции комплексного переменного
- •§5. Ряды Тейлора и Лорана
- •§6. Изолированные особые точки функции комплексного переменного
- •§7. Вычеты и их применение к вычислению контурных интегралов
§7. Вычеты и их применение к вычислению контурных интегралов
Пусть – конечная изолированная особая точка однозначной функции
Определение 1. Вычетом функции относительно точки называется число, обозначаемое символом и определяемое равенством
(1)
где – положительно ориентированный замкнутый контур, лежащий в области аналитичности и содержащий внутри себя одну особую точку .
При обходе контура особая точка остается слева.
Из определения следует, что вычет функции равен коэффициенту при в лорановском разложении в окрестности точки :
(2)
Приведем формулы для вычета, позволяющие избежать разложения функции в ряд Лорана – процесс в общем случае громоздкий.
1. Если – простой полюс функции , то
(3)
причем если представима в виде отношения двух аналитических в точке функций где то
(4)
2. Если – полюс -го порядка то
(5)
3. Для устранимой особой точки
4. Для нахождения вычета относительно существенно особой точки необходимо найти коэффициент
Пример 1. Найдем вычет функции относительно полюса .
Так как является простым полюсом, то
.
Иначе этот вычет можно найти так:
Данная функция представима в виде где . Причем , , поэтому .
Пример 2. Найдем вычет функции относительно полюса .
Так как является полюсом четвертого порядка, то
.
Пример 3. Вычет функции относительно существенно особой точки равен –1.●
Пусть аналитична в некоторой окрестности точки кроме, может быть, самой бесконечно удаленной точки.
Определение 2.Вычетом функции относительно бесконечно удаленной точки называют величину
(6)
где – отрицательно ориентированный замкнутый контур, принадлежащий области аналитичности функции.
При обходе контура бесконечно удаленная точка остается слева.
Из определения следует, что вычет относительно равен коэффициенту при в лорановском разложении в окрестности взятому с противоположным знаком:
(7)
Между утверждениями (7) и (2), несмотря на их внешнее сходство, имеется существенное различие. Дело в том, что в разложении Лорана в окрестности точки член принадлежит правильной (а не главной) части ряда, и может быть отличным от нуля и тогда, когда аналитична в бесконечности.
Пример 4. Найдем вычет функции относительно точки .
Лорановское разложение данной функции имеет вид:
,
Так как коэффициент при равен 1, то .
Теорема 1. (Основная теорема Коши о вычетах). Если функция аналитична в области , за исключением изолированных особых точек то для любого замкнутого контура , охватывающего эти точки
. (8)
Основная теорема о вычетах имеет важное значение для приложений. Она позволяет вычислять интегралы по замкнутому контуру от функции комплексного переменного, не прибегая к первообразным или криволинейным интегралам. С помощью вычетов вычисляются определенные и несобственные интегралы от функций действительного переменного.
Пример 5. Вычислим интеграл , где .
Простые полюсы и находятся внутри контура , поэтому, применяя первую теорему о вычетах можно записать
.●
Теорема 2. Если функция аналитична в расширенной плоскости (т.е. включающей точку ), за исключением конечного числа изолированных особых точек то
(9)
или
. (10)
Пример 6. Вычислим интеграл , где .
Подынтегральная функция имеет десять простых полюсов , лежащих на единичной окружности. Лорановское разложение функции в окрестности бесконечно удаленной точки имеет вид
, .
Так как , то, применяя вторую теорему о вычетах можно записать .
Таким образом .●