Лекция 3. Тема 2 «Общая методика расчетов элементов машин на прочность и износостойкость» (продолжение)

2. 3. Общая методика определения допускаемых напряжений

В предыдущей лекции сформулирована универсальная зависимость для определения допускаемых напряжений:

[σ] = (σ _lim /S) _* К_конст

Таким образом, при решении поставленной задачи необходимо установить: σ_lim ; K_конст и S.

2. 3.1. Определение предельных напряжений

Как отмечалось выше, σ_lim определяется видом поломки, который в свою очередь зависит от характера нагрузки. По этой причине для определения σ_lim прежде всего устанавливают характер изменения напряжений рассчитываемого элемента конструкции во времени. Если рассчитываемый элемент нагружен статической нагрузкой или циклической кратковременной (N_Σ ≤ 10³ ÷ 5_*10⁴), которую также называют квазистатической, то в этих случаях может происходить статическая поломка и, следовательно, в качестве предельных напряжений надо принять пределы статической прочности σ_Т или σ_в. В случае нагружения деталей циклической длительно действующей нагрузкой имеют место усталостные разрушения и в качестве σ_lim принимают пределы усталости (выносливости), соответствующие фактическому циклу изменения напряжений. При наличии в нагрузочном спектре элементов конструкций как длительно действующих, так и кратковременных нагрузок могут иметь место и статические, и усталостные поломки, поэтому требуется определить σ_lim и [σ] в обоих расчётных случаях.

С целью универсализации оценки σ_lim для всевозможных вариантов нагружения построим обобщенную диаграмму предельных напряжений (рис.1.4). На диаграмме можно выделить три характерные зоны.

1 зона – N_Σ = 0 ÷ N_кр - зона статических разрушений, σ_lim соответствуют предельным напряжениям при статических (N_Σ = 0) и квазистатических (N_Σ ≤N_кр) нагрузках. В пределах этой зоны без особых погрешностей можно принять σ_lim = сonst , что и отмечено пунктирной линией на рис. 1.4, причём для хрупких материалов σ_lim = σ_в , а для пластичных – σ _lim = σ _{T .}

2 и 3 зоны – зоны усталостных разрушений. При этом вторая зона – N_кр < N_Σ ≤ N_o – зона ограниченной усталостной прочности. В этой зоне, как очевидно из рис. 1.4, σ_lim = f (N_Σi). С целью установления σ_lim для какого-либо суммарного числа циклов напряжений N_Σi можно использовать уравнение кривой усталости, записав его для двух значений N_Σ – заданного N_Σi и N_o (точка 2 использована по причине того, что для нее параметры N_o и σ_lim известны)

σ^m_{lim NΣi *} N_Σi = σ_-1(o)^m _* N_o = сonst,

откуда интересующие нас предельные напряжения:

, (1.13)

где K_L - коэффициент долговечности, вычисляемый по очевидной из (1.13) формуле.

K_L = (1.14)

зоны предельных напряжений

Рис. 1.4. Обобщённая диаграмма предельных напряжений

Таким образом, предельные напряжения для типовых циклов изменения напряжений во второй зоне можно определить по зависимостям:

σ_lim = σ _-1* K_L – для знакопеременного симметричного цикла,

σ_lim = σ_{o *} K_L – для знакопостоянного пульсирующего цикла.

Ещё раз напомним, что в большинстве случаев асимметричные циклы приводят к эквивалентным симметричным знакопеременным. Частный случай расчётов на прочность в подобных ситуациях рассмотрен в разделе расчётов валов.

Важно обратить внимание на то, что уравнение кривой соответствует экспериментальным значениям σ_lim лишь в пределах точек 1 и 2 (т.1 и т.2 на рис.1.4). По этой причине на значения σ_lim, вычисляемые по (1.13) за пределами этих точек необходимо наложить ограничения.

В зоне 1 при N_Σ < N_кр

(σ_lim)_max ≤ σ_limT.1 = σ_{-1(o) *} K_Lmax = σ _b(σ_Т) ,

где максимальное значение коэффициента долговечности K_Lmax будет определяться соотношением σ_lim для статической и усталостной прочности:

(1.1)

Это соотношение для объемных поломок можно принимать равным 1,8.

В зоне 3 – N_Σ > N_o – зоне длительной усталостной прочности, для которой можно принять, что σ_lim не зависит от числа циклов напряжений, σ_lim = сonst. Реально кривая усталости асимптотически приближается к длительным пределам выносливости σ_-1 или σ_o , чем без особых погрешностей в практических расчётах пренебрегают. Таким образом, для третьей зоны можно записать:

σ _lim = σ _-1 – для знакопеременного симметричного цикла,

σ _lim = σ _o – для знакопостоянного пульсирующего цикла.

С целью универсализации расчётов во 2^ой и 3^ей зонах для определения σ_lim используем выражение (1.13), однако в случае N_Σ > N_o следует принять N_Σ = N_o или K_L = 1.0, поскольку в третьей зоне σ_lim принято независящим от числа циклов напряжений. Иногда с целью уменьшения времени получения кривой усталости в эксперименте прибегают к понятию условного базового числа циклов напряжений _. В этом случае за пределами значения σ_lim продолжают снижаться (см. рис. 1.4) и, следовательно коэффициент долговечности, вычисленный по условной базе испытаний из (1.14), должен иметь значение меньше 1. В подобной ситуации вводят ограничение на K_Lmin = . Если при вычислении окажется K_L< K_Lmin, то следует принять K_L=K_Lmin. Таким образом, для определения предельных напряжений в различных ситуациях нагружения можно предложить такую универсальную схему действий (рис.1.5).

Поломки деталей

с татические и квазистатические при нециклическом или малоцикловом (N_Σ ≤ 10³ ÷ 5_*10⁴) нагружении

к вазистатические и усталостные комбинированные при наличии в спектре нагрузок как кратковременных, так и длительнодействующих циклических напряжений

у сталостные при длительном циклическом (N_Σ > 10³ ÷ 5_*10⁴) нагружении

Знакопостоянный отнулевой пульсирующий цикл

хрупкие материалы

пластичные (вязкие) материалы

з накопеременный симметричный и асимметричный, приведенный к эквивалентному знакопеременному симметричному циклу

предельные напряжения σlim
σ lim = σ T		σ lim = σ в .		σ lim = σ -1*KL		σ lim = σ 0*KL
				При NΣ > N0 KL=1,0 или KL ≥ KLmin

Рис. 1.5. Универсальная схема определения предельных напряжений