Статистические данные для самостоятельного решения задач

ЗАДАНИЕ 1

Вариант 1.

Известны данные о прибыли 24 предприятий, млн. руб.:

26,0	30,0	27,3	38,1	30,0	28,0
31,5	40,0	30,0	21,5	33,0	35,1
29,1	20,0	33,0	31,5	30,0	29,1
25,1	34,1	29,1	30,0	33,5	22,0

Определить степень влияния опыта работы предприятий на величину прибыли, если известно, что первые 10 предприятий имели опыт работы менее 2-х лет, а остальные 14 – более 2-х лет.

Вариант 2.

Известны данные об объеме вложений в ценные бумаги 24 банков России, млрд. руб.:

2,7	4,6	4,0	3,7	4,1	3,2
4,8	1,9	4,8	4,0	4,9	4,3
2,8	4,3	3,2	2,4	4,0	3,7
4,0	3,4	5,6	3,4	4,6	2,5

Определить степень влияния прибыли на объемы вложений в ценные бумаги, если первые 15 банков имели прибыль до 50 млрд. руб., а остальные 9 – свыше 50 млрд. руб.

Вариант 3.

Имеются данные о чистых активах 24 банков России, млрд. руб.:

39,9	49,5	44,2	54,2	42,9	39,6
43,0	35,1	42,9	39,6	48,6	41,7
48,1	41,0	49,0	43,0	39,1	51,8
39,6	45,0	39,0	39,9	49,0	39,6

Определить степень влияния прибыли на величину чистых активов, если известно, что первые 10 банков имели прибыль до 111 млрд. руб., а остальные 14 – свыше 111 млрд. руб.

Вариант 4.

Имеются данные о кредитных вложениях 24 банков России, млрд. руб.:

19,8	21,4	19,9	21,1	19,9	24,0
21,1	22,0	18,0	21,5	26,0	18,9
24,2	18,2	24,6	19,9	18,5	23,5
19,5	25,0	20,0	23,0	21,5	19,8

Определить степень влияния ставки кредитов на величину кредитных вложений банков, если известно, что кредитные вложения до 20 млрд. руб. имели банки с минимальной ставкой кредита, а свыше 20 млрд. руб. – с максимальной ставкой кредита.

Вариант 5.

Известны данные о прибыли 24 предприятий региона, млн. руб.:

15,2	23,9	17,7	16,9	13,2	19,1
26,2	17,6	22,7	20,0	19,1	15,1
14,3	23,1	11,6	17,6	22,5	26,2
19,1	16,9	23,1	24,1	17,7	14,7

Определить степень влияния формы собственности предприятия на прибыль, если известно, что величина прибыли до 17 млн. руб. принадлежит АО, а свыше 17 млн. руб. – кооперативам.

Вариант 6.

Известны данные о заработной плате 24 работников фирмы, тыс. руб.:

3,3	2,4	2,6	3,0	1,8	4,2
2,2	2,9	4,2	2,8	3,5	2,5
2,6	2,8	1,5	2,6	2,4	3,5
2,3	2,5	3,0	2,9	3,3	2,6

Определить степень влияния формы оплаты труда на заработную плату работников, если работники со сдельной оплатой труда имели заработную плату до 3 тыс. руб., с повременной – свыше 3 тыс. руб.

ЗАДАНИЕ 2

Необходимо проанализировать производительность труда рабочих одного из цехов НПО “Виктория”. С этой целью была образована контрольная группа рабочих, имеющих стаж работы до 1 года, во вторую группу вошли рабочие со стажем от 1 до 3 лет и в третью группу объединили рабочих с большим стажем. Для чистоты эксперимента были сформированы пять групп, приблизительно равноценных по показателям. Результаты приведены в таблице 10.

Таблица 10 - Производительность труда рабочих цеха НПО “Виктория”, деталей за смену, штук.

Номер варианта	Вариант опыта	Повторность
		1	2	3	4	5
1	I группа (контр.)	411	419	426	432	430
	II группа	460	472	478	480	470
	III группа	475	440	500	482	495
2	I группа	278	285	200	256	291
	II группа	330	319	344	336	327
	III группа	378	388	391	387	399
3	I группа	426	440	434	442	437
	II группа	540	535	560	550	552
	III группа	552	546	564	558	560
4	I группа	511	519	526	532	530
	II группа	560	572	578	580	570
	III группа	575	540	600	582	595
5	I группа	464	470	472	468	480
	II группа	478	482	500	498	502
	III группа	530	536	540	527	534
6	I группа	328	336	327	319	329
	II группа	423	426	411	409	411
	III группа	456	462	468	470	457

Пример 3. Дисперсионный анализ при группировке данных по двум признакам (неслучайное распределение повторностей в группе)

Проанализировав результаты по реализации литературы (пример 2), правление фирмы пришло к выводу о необходимости продолжения эксперимента. Цель опыта состояла в том, чтобы уловить эффект взаимодействия между стажем работы и полом сотрудников.

Участники эксперимента предварительно были разделены на 2 части (блока). Одну часть (блок) составляли одни мужчины, другую – женщины. Каждый блок включал в себя группы по стажу работы: контроль – проработавшие в этой сфере менее года, 1 гр. – со стажем 1 год, 2 гр. – соответственно – 2 года и 3 гр. – 3 и более лет. Опыт проведен в трехкратной повторности. Следовательно, распределение в каждом варианте неслучайное.

Результаты эксперимента приведены в таблице 11.

Таблица 11 - Количество проданной научной литературы, шт. (в среднем за месяц)

Пол	Вариант опыта	Повторности			Сумма	Средние
		1	2	3
Мужской	Контроль	133	154	134	421	140
	Стаж:
	1 год	162	171	179	512	171
	2 года	200	214	210	624	208
	3 года	240	217	229	686	229
	Суммы	735	756	752	2243	Х
	Средние по группе	184	189	188	Х	187
Женский	Контроль	211	186	190	587	196
	Стаж:
	1 год	222	216	214	652	217
	2 года	228	214	230	672	224
	3 года	235	231	246	712	237
	Суммы	896	847	880	2623	Х
	Средние по группе	224	212	220	Х	219
	Суммы	1631	1603	1632	4866=	Х
	Средние по повторностям	204	201	204	Х	203
	Средние по подгруппам:
	Контроль	172	170	162	Х	168
	Стаж:
	1 год	192	194	197	Х	194
	2 года	214	214	220	Х	216
	3 года	238	224	238	Х	233

Требуется оценить достоверность различий между средними по вариантам опыта, используя дисперсионный метод анализа.

Решение.

1. Выдвигаем гипотезу о том, что факторы не оказывают влияния на реализацию литературы. Заключение по гипотезе сделаем с вероятностью 0,05. Количество реализуемой литературы варьировало в зависимости от пола, стажа работы, от сочетания этих факторов, от различий в составе групп, а так же не исключается случайное варьирование. Исходя из перечисленного, общую сумму квадратов отклонений следует представить как сумму:

Разложение проведем в два этапа.

На первом этапе разложим:

;

а на втором -

.

Определим число наблюдений. Анализируются 2 части (блока), т.е. k = 2. Второй фактор – стаж работы имеет 4 группы, l = 4. Каждый вариант представлен 3 повторами, т.е. n = 3. Общее число наблюдений N = k · l · n = 2 · 4 · 3 = 24.

2. Для упрощения вычислений выразим результаты эксперимента в отклонениях от постоянной величины А. За А принимается величина, близкая к общей средней (А = 200).

Результаты занесем в таблицу 12.

Таблица 12 - Таблица отклонений.

Пол	Вариант опыта	Повторности			Сумма
		1	2	3
Мужской	Контроль	-67	-46	-66	-179
	Стаж:
	1 год	-38	-29	-21	-88
	2 года	0	14	10	24
	3 года	40	17	29	86
Женский	Контроль	11	-14	-10	-13
	Стаж:
	1 год	22	16	14	52
	2 года	28	14	30	72
	3 года	35	31	46	112
Сумма		31	3	32	66

3. Проверим правильность проведенных преобразований:

Определим общую сумму квадратов, суммы квадратов всех вариантов опыта, повторностей:

.

Возводя в квадрат данные табл. 12, получим значения для определения и . Результаты вычислений поместим в таблицу 13:

Таблица 13 - Таблица квадратов отклонений.

Пол	Вариант опыта	Повторности			Сумма квадратов	Квадрат сумм
		1	2	3
Мужской	Контроль	4489	2116	4356	10961	32041
	1 год	1444	841	441	2726	7744
	2 года	0	196	100	296	576
	3 года	1600	289	841	2730	7396
Женский	Контроль	121	196	100	417	169
	1 год	484	256	196	936	2704
	2 года	784	196	900	1880	5184
	3 года	1225	961	2116	4302	12544
Сумма квадратов		10147	5051	9050	24248	68358
Квадрат сумм		961	9	1024	1994	4356

Воспользуемся данными таблицы и рассчитаем:

4. Определим число степеней свободы вариации:

Проведем предварительный анализ дисперсий, разделив суммы квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы (табл. 14):

Таблица 14 - Предварительный анализ дисперсий.

Источник вариации	Сумма квадратов отклонений	Степень свободы вариации	Дисперсия	Отношение дисперсий
				Fфакт	Fтабл
Пол + стаж	22604,0	7	3229,1	32,4	2,77
Повторности	67,3	2	33,7	Х	Х
Остаточная	1394,7	14	99,6	1	Х
Общая	24066,0	23	X

5. По приложению А определяем F_табл. При 5% уровне вероятности для 7 и 14 степеней свободы .

.

Проведя предварительный анализ существенности средних (F_факт > F_табл ), делаем вывод о достоверности различий в средних и целесообразности перехода к дальнейшим расчетам.

6. Приступим к рассмотрению вариации реализованной литературы, которая характеризуется различиями по полу, стажу и их взаимодействием. Для этого, используя суммы отклонений по повторностям (табл. 12), составим вспомогательную таблицу:

Таблица 15 - Отклонения по вариантам опыта.

Пол	Контроль	Стаж работы, лет			Сумма
		1	2	3
Мужской	-179	-88	24	86	-157
Женский	-13	52	72	112	223
Сумма	-192	-36	96	198	66

6. Результаты вычислений возведем в квадрат и занесем в таблицу:

Таблица 16 - Таблица квадратов отклонений по вариантам опыта.

Пол	Контроль	Стаж работы, лет			Сумма	Квадрат суммы
		1	2	3
Мужской	32041	7744	676	7396	47857	24025
Женский	169	2704	5184	12544	20601	49729
Сумма	32210	10448	5860	19940	68458	73754=
Квадрат сумм	36864	1296	9604	39204	86968=	4624=

6. Полученная таблица квадратов позволяет установить:

(вычисление см. в п.3)

6. Определим число степеней свободы:

6. Перейдем к заключительному этапу анализа. Объединим результаты вычислений в общую таблицу:

Таблица 17 - Анализ дисперсий.

Источник вариации	Сумма квадратов отклонений	Степень свободы вариации	Дисперсия	Отношение дисперсий
				Fфакт	Fтабл
Пол	5953,5	1	5953,5	59,7	4,60
Стаж	14302,0	3	4767,3	47,8	3,34
Взаимодействие факторов	2348,5	3	782,8	7,8	3,34
Повторности	67,3	2	33,7	0,3	3,74
Остаточная	1394,7	14	99,8	1,0	X
Общая	24066,0	23	X	X	X

Путем сопоставлений вычислим фактическое отношение дисперсий. За базу сравнения принимается . Например:

и т.д.

По таблице 5%-го уровня распределения F (см. приложение А) установим F_табл (аналогично тому, как это было сделано в примере 2).

Сопоставление F_факт с F_табл показывает, что существенны различия в среднем количестве реализуемой литературы по первому и второму факторам. Значительно менялось количество литературы и в результате взаимодействия факторов. Таким образом, приходим к выводу, что выдвинутая гипотеза о том, что различия в количестве реализуемой литературы случайны, должна быть отвергнута.

Поскольку выдвинутая первоначально гипотеза на основании данных дисперсионного анализа отвергнута, следует оценить достоверность различий между парами средних.

Для этого вычислим среднюю и предельную ошибки.

шт / в месяц,

.

При вероятности 0,05 и 14 степенях свободы вариации критическое значение нормированного отклонения t (см. приложение Б) составляет 2,1448 ≈ 2,14.

Предельная ошибка:

шт. в месяц.

Следовательно, величина возможных случайных колебаний при данном уровне вероятности не должна превышать 17,5 шт. в месяц.

Определим существенность разности в количестве реализованной литературы.

Выполним следующие сопоставления (см. табл. 11).

В первом блоке, который составили одни мужчины, все разности между средним количеством проданной литературы при меняющемся стаже работы существенны, так как превышают по абсолютной величине предельную ошибку ε _0,05=17,5 шт. в месяц.

В о втором блоке, представленном женщинами, две из шести разностей лежат в границах случайных колебаний. Несущественны разности то есть увеличение стажа работы с одного года до двух и с двух до трех дают соответственно разности в количестве проданной литературы 7 и 13 шт. в месяц, что меньше предельной ошибки.

Четыре из шести приведенных разностей больше 17,5 шт. в месяц и, следовательно, они существенны, а две – несущественны.

Таким образом, в рассмотренном примере, когда анализируется работа женщин, несколько ослабляется воздействие стажа на объем проданной литературы.

В целом же, в десяти случаях из двенадцати разности превышают по абсолютной величине предельную ошибку, что позволяет рассматривать их как существенные.