58. Предел бесконечной последовательности.

Число А называется пределом последовательности a_n , если для любого сколь угодно малого Ԑ>0 существует такой номер N, что для всех номеров любого n>N выполняется неравенство |a_n – A |<Ԑ.

Если последовательность не ограничена – он анне имеет предела.

Если последовательность имеет предел - он единственный.

a_n = (-1)ⁿ

59. Предел ф-ии (по Коши).

Число А называется пределом ф-ии y=f(x) при (x →x₀) если для любого Ԑ>0 существует такое δ>0 для всех х не равное х₀ удовлетворяющих неравенству |x-x₀| < δ выполняется неравенство

|f(x) – A| < Ԑ.

Число А называется правосторонним пределом для y=f(x) в точке х₀ , если для любого Ԑ>0 существует δ>0.

Число А не является пределом если

Можно доказать, что ф-ии имеет предел в точке х₀ тогда и только тогда, когда существуют оба односторонних предела и они равны м/у собой.

60. Предел ф-ии (по Гейне).

Число А называется пределом ф-ии y=f(x) при х →х₀ , если для любой последовательности х_n отличной от х₀ из области определения ф-ии и сходящийся к х₀ соотв. послед. знач. ф-ии сходится к числу А.

62. Бесконечно малые величины.

Бесконечно малой величиной называется переменная величина, предел которой равен нулю.

Любое конечное число (постоянное) как бы мало оно ни было не является бесконечно малой(за исключением нуля).

63. Связь между бесконечно малой и пределом.

Если переменная величина U имеет предел равный А, то она представлена в виде суммы этого числа А и бесконечно малой величины ɑ.

U = A + ɑ

Если переменную величину U можно представить в виде суммы некоторой постоянной А и бесконечно малой величины ɑ, то число А – предел переменной величины.

64. Теоремы о пределах.

Предел суммы конечного числа функций, имеющих пределы при х→а, равен сумме их пределов.

Предел произведения конечного числа функций, имеющих пределы при х→а, равен произведению пределов.

65. Теоремы о пределах.

Предел частного есть частное пределов (если знаменатель не обращается в 0).

Предел произведения двух, трех и вообще конечного числа функций равен произведению пределов этих функций.

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

66. Признаки существования предела.

- всякая монотонно изменяющаяся переменная, ограниченна я в направлении своего изменения, имеет предел.

- признак «двух милиционеров»:

Если три величины (U,V,W) в процессе своего изменения удовлетворяют неравенству V≤U≤W и существует предел величины V и величины W и они равны А (lim V=limW=A), то существует предел U=A (lim U=A).

67. Первый замечательный предел.

lim sinx/x = 1

x→0

68. Второй замечательный предел

Е = 2,72…

В качестве параметра может выступать не только переменная , но и сложная функция.

Главное условие – стремление к бесконечности.

69. Непрерывность функции в точке и на отрезке

Y = f(x) D(y) x_o – непрерывная если :

• Функция определяется в Хо и некоторой её окрестности.

• Lim f(x) = f(x_o)

X->Xo

Функция f(x) непрерывна в точке Xo є (a,b) , если предел функции в точке Xo равен значению функции в этой точке .

Функция f(x) называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна на интервале (a, b), непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.