Тема 1.11: Анализ и оценка качества продукции предприятия выборочным методом.

ЗАДАЧА 1. 15. Дано: При контроле качества продукции предприятия проведено 5%-ое выборочное обследование партии изделий N_u=2000 шт. (генеральной совокупности). Методом свободного случайного отбора и обследования выборочной совокупности (выборки размером - n_в = 100 шт. - 5% от 2000 шт) определено, что средний вес изделий в выборке - х_{ср в} = 500 г, среднее квадратическое отклонение - s_х = 15 г, 90 штук изделий (m) соответствовали требованиям стандарта. (К_в = N_сп +40; К_в прибавить к n_в и х_{ср в} )

Необходимо: На основе полученных данных выборки необходимо с вероятностью Р = 0,683 (нормированное отклонение t = 1) определить возможные значения доли стандартных изделий Р_г (генеральной доли) и среднего веса изделий Х_г (генеральной средней) всей партии изделий.

Решение: Расчетные формулы: Р_г = ω ± tµ_ω ; Х _{ср г} = х_{ср в} ± tµ_х; ;

Доля стандартных изделий в выборке: ω = m_в/n_в = 90/100 = 0,9 (90%).

При повторной выборке:

Ошибка выборки.. 1) по доле стандартных изделий:

µ _ω = √ ω _* (1 - ω)/n_в = √ 0,9 _* (1-0,9) / 100 = 0,03;

2) по весу изделий: µ_x = √s²/n_в = √15² / 100 = 1,5г.

При бесповторной выборке (с учетом коэффициента (1-n_в/N_г)):

1) µ_ω = √ [ω _* (1 - ω)/n_в ] _* (1-n_в/N_г) = √ [ 0,9 _* (1-0,9) / 100 ] _* [1 - 100/2000] = 0,029 и µ_x = √s²/n_в*(1 - n_в/N_г) = √15² / 100_* [1- 100/2000] = 1,46 г.

Повторная выборка:

Генеральная доля: Р_г = ω ± tµ_ω = 0,9 ± 1 _* 0,03; 0,87 (87%) > Р_г < 0,93 (93%).

Генеральная средняя: Х _{ср г} = х_{ср в} ± tµ_х; = 500 + 1 _* 1,5; 498,5 > Х _{ср г} < 501,5 г.

При бесповторной выборке – соответственно.

Заключение: При переносе закономерностей выборки на генеральные совокупности можно сделать следующие выводы: с вероятностью Р = 0,683 (при t =1) можно утверждать, что в генеральной совокупности доля стандартных изделий колеблется в пределах однократной ошибки выборки 1*µ_ω и 1*tµ_х;: по доле от 0.87 до 0.93, т.е. 87-93% изделий обладают стандартными свойствами, при этом средний вес изделий в генеральной совокупности колеблется от 498,5 до 501,5 гр.

Тема 1.12. Изучение взаимосвязей в массовых явлениях и процессах.

- Виды взаимосвязей в массовых явлениях и процессах:

балансовая, факторная, индексная, функциональная, корреляционно-регрессионная.

- Моделирование и прогнозирование экономических массовых процессов.

ЗАДАЧА 1.16. Моделирование и прогнозирование экономических массовых процессов с использованием метода наименьших квадратов (МНК).

Дано: Имеются данные статистического наблюдения о средних затратах ряда предприятий города на капитальный ремонт оборудования (у_i^ф – тыс. руб.) в зависимости от срока службы (периода эксплуатации) этого оборудования (х_i^ф – лет). Данные наблюдения приведены в Приложении в таблице 1. (графы 2 и 3).

Необходимо: 1) Разработать (синтезировать) и построить с обоснованием практической значимости адекватную математическую модель массового экономического процесса в хозяйственной деятельности предприятий – зависимость затрат предприятия на ремонт производственного оборудования (у_i) и его срока службы (х_i).

2) Для построения и обоснования математической модели использовать корреляционно-регрессионный анализ исследуемой зависимости и метод наименьших квадратов (МНК).

3) Построить линейный график корреляционной зависимости типа y=f(x) в виде ломаной линии (по фактическим данным х_i^ф и у_i^ф) и ее теоретического аналога (модели) – прямой линии (Рис. 1).

4) Аналитически и графически определить время начала необходимости капитального ремонта оборудования (значение х_{нач. рем.} при у_х=0).

5) Методами интерполяции (и) и экстраполяции (э), с целью нормирования и планирования затрат предприятия на ремонт оборудования (х_и^т и у_э^т), дать прогноз затрат по заданному времени эксплуатации оборудования в области фактической (известной) статистики (данные наблюдения), например, при х_и=6,5 лет и вне этой области – при х_э=12 лет.

6) Построить макет сложной аналитической таблицы 1 и внести в нее фактические данные статистического наблюдения – х_i^ф и у_i^ф (графы 2 и 3).

7) Построить линейный график (Рис. 1) корреляционной зависимости (связи) х_i^ф и у_i^ф вида y=f(x)+ ξ (1), где ξ – величина влияния на у_х суммы случайных факторов. Нанести на график (используя шкалы осей координат у и х и «сетку графика») соответствующие координатам х_i^ф и у_i^ф и соединить их прямыми линиями в непересекающуюся ломаную линию (у_х^ф).

8) По характеру построенной ломаной линии определить предполагаемую теоретическую линию аппроксимации (выравнивания ломаной); в данной задаче – принимаем прямую линию и ее аналитическое выражение у_х = а₀ + а₁х (2). Преобразовать (синтезировать) уравнение прямой (2) в теоретическую зависимость затрат на ремонт оборудования от его срока службы подставив в (2) фактические значения х_i^ф : у_i^т = а₀ + а₁х_i^ф (3).

Решение: Уравнение (3) есть уравнение регрессии , т.е. синтезированная математическая модель исследуемого экономического массового процесса – зависимости затрат предприятия на ремонт оборудования от его срока эксплуатации, параметры которого определяются по формулам (4) (см лекцию …):

; (4).

Параметры a₀ и а₁ можно определить также и путем подстановки соответствующих сумм в уравнение (4) по данным таблицы 1.

2) Рассчитаем a₀ и а₁ по уравнениям (4). По уравнению регрессии (3) определим теоретические значения затрат на ремонт оборудования (у^т) и другие показатели таблицы 1 и внесем результаты расчетов в соответствующие графы таблицы 1. По данным таблицы 1: x_ср = Σх_i / n = 70 / 10 = 7 лет;

; ; ; ;

; ; Σ (у_i^т - у_i^ф)² = 100.

3) Подставим рассчитанные суммы из таблицы 1 в уравнения системы (4):

(1420 / 540 = 2,629)

Принимаем: а₀=-6,51; а₁=2,63: у_1,2^т= а₀ + а₁х₁^ф= -6,51+2,63*4= 4,01 тыс. руб., т.д.

у₁₀^т= а₀ + а₁х₁₀^ф= -6,51+2,63*11=22,42 тыс. руб.

4) В поле графика (рис.1) построим теоретическую прямую линию исследуемой зависимости у_i^т (3) по координатам у_i^т х_i^ф.

5) По t_кр – критерию Стьюдента необходимо обосновать практическую значимость синтезированной по уравнению прямой (2) регрессионной модели (3) и ее параметров а₀=-6,51 (без учета знака); а₁=2,63 с учетом условия t_a0 > t_кр < t_a (5). По вероятностной таблице для коэффициента значимости α =0,05 и количества степеней свободы к_св = n – 2 = 10 – 2 = 8 t_кр=2,3 (с вероятностью P_t=0,95). Фактические значения t-критерия определить по формулам:

(6); (7)

; .

Вывод: условие типичности выполняется: t_a0=5.83>t_кр=2.3<t_a1=5.46.

Следовательно, уравнение регрессии (3) и его параметры a₀ и a₁ являются (признаются) типичными, т. к. с достаточной степенью вероятности (P=0.95) определяют корреляционную зависимость затрат предприятия на ремонт оборудования у_i^T от его срока службы х_i^ф.

6) Для определения показателя тесноты и характеристики силы корреляционной связи между у_i^Т и х_i^ф определить коэффициент корреляции (r) и коэффициент детерминации (r²) для прямолинейной зависимости:

(8)

Соответственно: (9)

7) Оценить значимость вычисленного коэффициента корреляции r=0.88 по t-критерию Стьюдента при условии t_r>t_кр=2.3 и по шкале Чеддока (табл.2). Фактическое значение t-критерия r: (10)

Следовательно, условие значимости r выполняется: t_r=5,24>t_кр=2.3

8) По шкале Чеддока коэффициент корреляции r=0.88 определяет корреляционную связь между у_i^Т и х_i^ф как «высокую».

Вывод: величина r=0.88 является существенной, а связь между у_i^Т и х_i^ф - «высокой». На основании коэффициент детерминации r²=0,774 с высоким уровнем доверительной вероятности (Р = 0.95) можно утверждать, что 77,4% общей вариации результативного признака у_i (затрат на ремонт оборудования) объясняется (детерминировано) изменением факторного признака х_i (срока службы оборудования). При этом 22,6% общей вариации (100% - 77,4%) у_i вызвано влиянием суммы случайных факторов, т.е. ξ = 22,6% [ у_i = f(x) + ξ)].

9) Следовательно, синтезированная по уравнению прямой линии математическая модель(3) - у^т_i = - 6,51+2,63 х^ф является типичной и может быть использована для практических целей прогнозирования и планирования затрат предприятия на ремонт оборудований (у_i) в зависимости от его срока службы (х_i).

10) Теоретически и графически определим время начала необходимости капитального ремонта оборудования (х_{нач. рем.}) по уравнению (3) при у_x=0:

, откуда года.

11) Определим по уравнению регрессии (3) методами интерполяции (И) и экстраполяции (Э) прогноз затрат предприятия на ремонт оборудования при х_и=6,5 лет и х_э=12 лет:

у_и = а₀ + а₁х_и = -6,51 + 2,63 * 6,5 = 10,59 тыс. руб.,

у_э = а₀ + а₁х_э = -6,51 + 2,63 * 12 = 25,05 тыс. руб.

Нанесем на график (рис 1) пунктирными линиями вычисленные координаты у_и^т х_и и у_э^т х_э..

Таблица 1. 8. Данные для расчета показателей уравнения регрессии.

№ п/п	хi^ф	уi^Ф	xiּ*yi	xi^2	yi^2	÷xi- ÷	(xi - )^2	уi^т	÷уi^т- уi^Ф÷	(уi^т- уi^Ф)^2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	4	6	24	16	36	(-)3	9	4.01	1.99	3.96
2	4	3	12	16	9	3	9	4.01	1.01	1.02
3	5	9	45	25	81	2	4	6.64	2.36	5.60
4	6	8	48	36	64	1	1	9.27	1.27	1.61
5	6	10	60	36	100	1	1	9.27	0.73	0.53
6	7	12	84	49	144	0	0	11.90	0.10	0.01
7	8	13	104	64	169	1	1	14.53	1.53	2.34
8	9	11	99	81	121	2	4	17.16	6.16	37.95
9	10	18	180	100	324	3	9	19.79	1,79	3.20
10	11	29	319	121	841	4	16	22.42	6,58	43.30
Σ :	70	119	975	544	1889	-	54	-	-	99.94

Примечание: x_i-годы (лет); y_i-тыс. руб. Принимаем: Σ (у_i^т-у_i^Ф)²≈100.

( К_в = (N_сп + 10)/ 100; прибавить К_в ко всем у_i^Ф)

Рис 1.4. График зависимости y = F(x) + ξ (масштаб шкал OX : OY = 1:2).

По шкале Чеддока (Таблица 1.9) коэффициент корреляции r=0.88 определяет корреляционную связь между у_i^Т и х_i^ф как «высокую».

Таблица 1.9.. Шкала Чеддока

Теснота связи	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
Сила связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	Весьма высокая

Общие выводы:

График(Рис.1.4) – теоретическая прямая линия у_i^т = а₀ + а₁х_i^ф (3), выражает форму корреляционно-регрессионной зависимости экономического массового процесса - зависимости затрат предприятия на ремонт оборудования (у_i^Т) от срока службы (периода эксплуатации) этого оборудования (х_i^ф ). Уравнение (3) является также математической моделью указанного экономического массового процесса и уравнением регрессии корреляционной зависимости между у_i^Т и х_i^ф , построенного (синтезированного) на основе использования метода наименьших квадратов (МНК) для определения параметров регрессии а₀ и а₁ .

Синтезированное уравнение регрессии (3) может быть использовано для моделирования и прогнозирования (планирования) затрат предприятия (у_i^Т) на ремонт эксплуатируемого основного оборудования в зависимости от срока его эксплуатации (х_i^ф ) как в пределах известных статистических данных (х_i^ф от 4-х до 11-ти лет, собранных и зарегистрированных в результате научно организованного статистического наблюдения) методом интерполяции (уравнение у_и = а₀ + а₁х_и ) и так и за пределами известных данных статистики (х_i^ф более 11 лет, в предположении сохранения прямолинейной зависимости у_i^Т) методом экстраполяции (уравнение у_э = а₀ + а₁х_э ).