- •Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
- •5 Уравнения, не разрешенные относительно производной ………………………………. 12
- •5.3 Уравнения вида ……………………………………………………………..13
- •Предисловие
- •Общие понятия. Задача Коши. Теоремы существования и единственности
- •1.1 Уравнения, разрешенные относительно производной. Общее решение
- •Уравнения, не разрешенные относительно производной.
- •Особые решения
- •Уравнения, разрешенные относительно производной. Простейшие методы
- •2.1 Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
- •Уравнение вида
- •Однородные уравнения и приводящиеся к ним
- •Обобщенно-однородные уравнения и приводящиеся к ним
- •Уравнение Бернулли
- •2.7 Уравнение вида
- •Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •3.1 Уравнение в полных дифференциалах
- •Интегрирующий множитель
- •Уравнение Риккати
- •Использование частных решений для построения общего решения
- •Уравнения, не разрешенные относительно производной
- •5.1 Метод «интегрирования посредством дифференцирования»
- •Уравнения вида
- •Уравнения вида
- •Уравнение Клеро
- •5.5 Уравнение Лагранжа
- •Приближенные аналитические методы решения уравнений
- •6.1 Метод последовательных приближений (метод Пикара)
- •Метод разложения в ряд Тейлора по независимой переменной
- •Метод регулярного разложения по малому параметру
- •Список литературы
- •Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка
- •446086 Самара, Московское шоссе, 34.
Уравнение вида
Замена приводит данное уравнение к уравнению с разделенными переменными см. разд. 2.1.
Однородные уравнения и приводящиеся к ним
Однородные уравнения не меняются при одновременном растяжении
(сжатии) независимой и зависимой переменных по правилу: где - произвольная постоянная Они могут быть записаны в виде
Замена приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными см. разд. 2.1
П р и м е р 3. Решить уравнение
Подстановка приводит это уравнение к виду или Интегрируя находим и .
К однородному уравнению приводится уравнение
При надо перейти к новым переменным где постоянные и определяем путем решения линейной алгебраической системы
В результате для функции получим уравнение
Последнее после деления числителя и знаменателя аргумента функции f на принимает вид однородного уравнения, правая часть которого зависит только от отношения переменных
При см. уравнение из разд. 2.2.
П р и м е р 4. Решить уравнение
Находим точку пересечения прямых, полученных приравниванием к нулю числителя и знаменателя:
Откуда х0 =1, у0 = 2. После замены уравнение принимает вид
или
Получилось однородное уравнение, которое решается заменой В результате находим
.
Возводя в квадрат и возвращаясь к старым переменным, имеем
Обобщенно-однородные уравнения и приводящиеся к ним
Обобщенно-однородные уравнения не меняются при одновременном
растяжении (сжатии) независимой и зависимой переменных по правилу: где произвольная постоянная, а k – некоторое число. Они могут быть записаны в виде
Замена и = ух-k приводит обобщенно-однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными , см. разд. 2.1.
К обобщенно-однородному уравнению сводится уравнение
Для этого надо сделать замену z = ex и положить
Линейное уравнение
Линейное уравнение первого порядка имеет вид
Решение ищем в виде произведения y = uv , где функция v = v(x) удовлетворяет «укороченному» уравнению [в качестве такой функции можно взять частное решение v = e-F, где ]. Для функции и = и(х) получим уравнение с разделяющимися переменными Интегрируя уравнение для и , находим общее решение
где
П р и м е р 5. Решить задачу Коши:
Записываем это линейное уравнение в стандартном виде
Полагая y = u v, получим
Сгруппировав слагаемые, получим два уравнения:
и
Записываем первое в виде , откуда и = х2 + 1. Подставляя это во второе уравнение, находим = 1 или v = х + C. Подставляя сюда х = 1, у = 2, получим С = 0. Решение задачи Коши имеет вид у = х(х2+1).