Использование частных решений для построения общего решения
Пусть известно частное решение Риккати
Тогда подстановка
приводит к линейному уравнению для z
и, следовательно, уравнение Риккати
решается в квадратурах.
П р и м е р 9. Проинтегрировать уравнение
Поищем частное решение вида
Подставляя это в уравнение, находим
Простейшим
решением этого уравнения является n
= 1, а = 1, т.е. у1 = х.
Подстановка
приводит к линейному уравнению
,
которое легко интегрируется:
Окончательно
.
Пусть
и
два
различных частных решения уравнения
(1). Тогда общее решение можно найти по формуле:
где
.
Частному решению у1(х)
соответствует значение
,
а решению у2(х) – значение С
= 0.
Пусть
три
различных частных
решения уравнения (1). Тогда общее решение находится без квадратур:
Это означает, что уравнение Риккати имеет фундаментальную систему решений.
Уравнения, не разрешенные относительно производной
5.1 Метод «интегрирования посредством дифференцирования»
В общем случае уравнение, не разрешенное относительно производной
(1)
представим в эквивалентном виде
(2)
Ищем решение в параметрической форме
Учитывая первое соотношение (2), найдем
дифференциал функции F:
.
(3)
Используя связь dy = t dx, исключим последовательно dy и dx в выражении (3). В результате приходим к системе двух дифференциальных уравнений
(4)
Если удается решить эту систему, то решение исходного уравнения (1) получается
в параметрической форме x = x(t), y = y(t).
Замечание 1 . При использовании данного метода возможна потеря отдельных решений (этот вопрос надо исследовать дополнительно).
Замечание 2. Этот метод особенно удобен, если уравнение (1) легко разрешается относительно у (или х). Тогда, дифференцируя полученное выражение по х (или по у) и, считая t функцией от х (или от у), получим уравнение, разрешенное относительно производной.9
П р и м е р 10. Проинтегрировать уравнение
Полагая
,
находим
Дифференцируем по х, считая t
функцией от х и заменяя
через t, имеем
или
Отсюда следуют два уравнения:
и
Из первого уравнения t
= x + C.
Подставляя это в подчеркнутое выражение
для у, находим общее решение
Подставляя
туда же, получим особое решение
Если из исходного уравнения выразить х, то полученное выражение следует
дифференцировать по у, считая t
функцией от у и заменяя
на
.