3.4. Вычисление определителя и обратной матрицы.
Метод Гаусса может быть использован для вычисления главного определителя матрицы. Он равен произведению ведущих элементов всех раздела схемы единственного деления.
Для нахождения обратной матрицы используется основное соотношение: А∙А-1=Е, где Е – единичная матрица.
Элементы обратной матрицы будем считать неизвестными. Полученные n систем линейных уравнений имеют одну и ту же матрицу А и различные свободные члены, составляющие единичную матрицу. Поэтому эти системы можно решать по схеме Гаусса. Решения xij, найденные по схеме единственного деления, и будут элементами обратной матрицы А-1.
ЗАДАЧА 3.3.
Найти обратную матрицу и главный
определитель для матрицы
РЕШЕНИЕ.
Раздел |
x1j |
x2j |
x3j |
Свободные члены |
∑ |
|||
j=1 |
j=2 |
j=3 |
||||||
Прямой ход |
I
|
3 2 2 |
2 3 2 |
2 2 3 |
1 0 0 |
0 1 0 |
0 0 1 |
8 8 8 |
1 |
0,67 |
0,67 |
0,33 |
0 |
0 |
2,67 |
||
II |
|
1,66 0,66 |
0,66 1,66 |
-0,66 -0,66 |
1 0 |
0 1 |
2,66 2,66 |
|
|
1 |
0,4 |
-0,4 |
0,6 |
0 |
1,6 |
||
III |
|
|
1,4 |
-0,4 |
-0,4 |
1 |
1,6 |
|
|
|
1 |
-0,29 |
-0,29 |
0,71 |
1,14 |
||
Обратный ход |
1 |
1 |
1 |
-0,29 -0,4-0,4∙(-0,29)=-0,28 0,33-0,67∙(-0,28)-0,67∙(-0,29)=0,71 |
-0,29 0,72 0-0,67∙0,72-0,67∙ (-0,29)=-0,29 |
0,71 -0,28 -0,29 |
1,14 1,14 1,14 |
|
∆=3 ∙1,66 ∙1,4=6,97
А-1=
Задание 3.2.
С помощью схемы единственного деления решить систему уравнений и найти главный определитель.
3.5. Приближенные методы.
Приближенные методы дают возможность найти решение системы как предел бесконечного вычислительного процесса с помощью итерационного процесса. В этих методах на каждом этапе по найденным приближениям к решению строится следующее, более точное приближение. Важная черта приближенных методов – самоисправляемость. В случае сходящегося итерационного процесса арифметическая ошибка, допущенная в каком-то приближении, исправляется в следующих приближениях. Условия и скорость сходимости процесса зависят от свойств уравнений системы и выбора начальных приближений. Процесс продолжается до тех пор, пока максимум модулей разности между соседними приближениями будет не больше заданной точности.
Метод простой итерации. В этом
методе исходная система уравнений Ах=В
приводится к виду x=Cx+D,
выбирается начальное приближение
и каждое следующее приближение
определяется по формуле
.
Условие сходимости:
или
Метод Зейделя отличается от метода простых итераций тем, что при вычислении каждого неизвестного используются полученные на этом шаге исправленные значения неизвестных.
ЗАДАЧА 3.4.
Найти решение системы уравнений задачи 10 приближенными методами.
РЕШЕНИЕ.
Приведем систему уравнений к виду x=Cx+D
Полученная система удовлетворяет условию сходимости.
Вычисления приближенными методами c точностью до 0,02 сведем в таблицу:
№ итерации |
Метод простой итерации |
Метод Зейделя |
||||
х1 |
х2 |
Х3 |
х1 |
х2 |
х3 |
|
|
|
1,2 |
1,5 |
1,7 |
1,2 |
1,5 |
1,7 |
|
|
1,43 |
1,94 |
2,3 |
1,43 |
1,917 |
2,1936 |
|
|
1,404 |
2,061 |
2,549 |
1,427580 |
2,068722 |
2,459658 |
|
|
1,3265 |
2,0864 |
2,6768 |
1,357744 |
2,113527 |
2,617315 |
|
|
1,25190 |
2,08383 |
2,75615 |
1,279831 |
2,116670 |
2,719072 |
|
|
1,191527 |
2,073878 |
2,811734 |
1,212417 |
2,104946 |
2,789212 |
|
|
1,145182 |
2,062827 |
2,853112 |
1,159113 |
2,089214 |
2,839773 |
|
|
1,110204 |
2,052556 |
2,884784 |
1,118592 |
2,073715 |
2,877262 |
|
|
1,083910 |
2,043556 |
2,909339 |
1,088331 |
2,059943 |
2,905535 |
|
|
1,064123 |
2,035875 |
2,928501 |
1,065897 |
2,048269 |
2,925078 |
Метод простой итерации: x1≈1,064; x2≈2,036; x3≈2,929
Метод Зейделя: x1≈1,066; x2≈2,048; x3≈2,925
Задание 3.3.
Решить систему уравнений приближенными методами.