- •Конспект лекций
- •Содержание
- •Введение.
- •1. Приближенные числа и действия над ними. Оценка точности вычисления.
- •2. Методы решения нелинейных уравнений.
- •2.1. Отделение корней
- •2.2. Общие свойства алгебраических уравнений.
- •2.3. Методы уточнения корней.
- •2.4. Решение систем нелинейных уравнений.
- •3. Решение систем линейных уравнений.
- •3.1. Классификация методов
- •3.2. Точные методы.
- •3.3. Схема единственного деления.
- •3.4. Вычисление определителя и обратной матрицы.
- •3.5. Приближенные методы.
- •4. Приближение функций.
- •4.1. Интерполирование и экстраполирование функций.
- •4.2. Аппроксимация.
- •5. Численное интегрирование.
- •6. Численное решение задач оптимизации.
- •6.3. Многомерная оптимизация.
- •Литература
4. Приближение функций.
4.1. Интерполирование и экстраполирование функций.
Интерполяция – одно из основных направлений обработки данных, которое заключается в нахождении значения таблично заданной функции в тех точках внутри данного интервала, где она не задана. Экстраполяция – восстановление функции в точках за пределами заданного интервала. Такая задача возникает, например, при прогнозировании.
При интерполяции и экстраполяции строится интерполяционная функция L(x), приближённо заменяющая исходную f(x), заданную таблично, и проходящая через все заданные точки – узлы интерполяции. Обычно в качестве функции L(x) выбирают полином, хотя через заданные точки можно провести любое количество функций.
Метод Лагранжа заключается в построении полинома n-порядка при n+1 узле интерполяции на отрезке [x0,xn] по формуле: L(x)=y0 Q0(x)+…+ yn Qn(x),
где
Qj(xi)=0 при ij и Qj(xi)=1 при i=j
Погрешность интерполяции можно оценить по формуле
ЗАДАЧА 4.1. Найти значение f(x) в заданной точке, если задано её значение в четырёх узлах интерполяции.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА.
ДАНО. x0, x1, x2, x3 – узлы интерполяции, х – заданное значение аргумента,
y0, y1, y2, y3 – значения функции в узлах.
НАЙТИ. f(x)
СВЯЗЬ. + + + +
Задание 4.1. Дана таблично заданная функция. Найти y при x=4
-
X
0
1
2
6
Y
-1
-3
3
1187
ЗАДАЧА 4.2.
Вычислить с помощью формулы Лагранжа для трех узлов интерполяции. Определить погрешность вычисления.
РЕШЕНИЕ.
В качестве узлов интерполяции выберем такие (близкие к заданному), в которых значения функции можно вычислить точно: х0=100; х1=121; х2=144
-
x
100
121
144
y
10
11
12
Для оценки погрешности вычисления по трем точкам необходимо найти третью производную функции
Следовательно, в полученном результате 2 верных десятичных знака
y(117)≈10,82
– результат, полученный на калькуляторе.
Задание 4.2. Вычислить с помощью формулы Лагранжа значение у для трех узлов интерполяции. Определить погрешность вычисления.
1) 2) y=383
Метод Ньютона заключается в построении полинома n-порядка при n+1 узле интерполяции на отрезке [x0,xn], используя конечные разности.
Конечной разностью первого порядка называется разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции: Из конечных разностей первого порядка можно образовать конечные разности второго порядка и т.д.
Общая формула для вычисления конечной разности k-ого порядка в i-ой точке:
Можно заметить, что при наличии n+1 точки конечную разность первого порядка можно вычислить только для первых n точек, конечную разность k-го порядка только для n-k+1 точек, а конечную разность n-го порядка – только для нулевой точки.
Обычно метод Ньютона используется для равномерно расположенных узлов интерполяции, т.е.
Для интерполяции в начале таблицы и экстраполяции назад удобно использовать первую интерполяционную формулу Ньютона:
На практике часто используют первую формулу Ньютона в другом виде:
, где
Для интерполяции в конце таблицы и экстраполяции вперед рекомендуется использовать вторую интерполяционную формулу Ньютона:
На практике часто используют вторую формулу Ньютона в другом виде:
, где
Погрешность интерполяции можно оценить по формуле
Т.к. обычно производную n-го порядка найти трудно, то её можно выразить через конечную разность
Обозначим . Тогда
ПРИМЕЧАНИЕ.
Чтобы получить более точное решение (уменьшить погрешность), в качестве x0 и xn выбирают узлы, ближайшие к искомой точке.
ЗАДАЧА 4.3.
1) Функция задана таблично:
-
x
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
y
1,1
0,9
0,85
0,7
0,63
0,5
0,3
Найти значение функции и оценить погрешность.
1) у(2,05) 2) y(2,23) 3) y(2,38)
РЕШЕНИЕ.
Составим таблицу конечных разностей:
-
x
2
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
y
1,1
0,9
0,85
0,7
0,63
0,5
0,3
∆y
-0,2
-0,05
-0,15
-0,07
-0,13
-0,2
∆2y
0,15
-0,1
0,08
-0,06
0,07
∆3y
-0,25
0,02
-0,14
-0,13
h=0,1
1) y(2,05)
Заданное значение аргумента находится в начале таблицы, поэтому используем первую интерполяционную формулу Ньютона. x0=2,0
q=(2,05-2,0)/0,1=0,5
Используем для интерполяции только 3 первые точки, т.е. n=2.
у(2,05)=1,1+(-0,2) · 0,5+0,15 · 0,5 · (0,5–1)/2=0,98125
Из таблицы находим, что М3=0,25. Тогда
2) y(2,23)
x0=2,2
3) Используем вторую интерполяционную формулу.
Задание 4.3.
Функция задана таблично:
-
x
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
y
0,03983
0,07926
0,11791
0,15542
0,19146
0,22575
Найти у(0,58) и оценить погрешность.
Метод сплайнов заключается в нахождении функции (сплайна), которая состоит из ряда полиномов, своих для каждого интервала. Полиномы соседних интервалов стыкуются так, чтобы функция была непрерывной. Т.е. строится система уравнений, в которой значения функций для каждого интервала в узлах интерполяции совпадают. Дополнительными условиями для поиска коэффициентов полиномов является непрерывность нескольких производных. Например, кубический сплайн склеивается из полиномов третьей степени, которые для i-го участка записываются так: