Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Лекции по ЧМ.doc
Скачиваний:
43
Добавлен:
15.11.2019
Размер:
1.15 Mб
Скачать

4. Приближение функций.

4.1. Интерполирование и экстраполирование функций.

Интерполяция – одно из основных направлений обработки данных, которое заключается в нахождении значения таблично заданной функции в тех точках внутри данного интервала, где она не задана. Экстраполяция – восстановление функции в точках за пределами заданного интервала. Такая задача возникает, например, при прогнозировании.

При интерполяции и экстраполяции строится интерполяционная функция L(x), приближённо заменяющая исходную f(x), заданную таблично, и проходящая через все заданные точки – узлы интерполяции. Обычно в качестве функции L(x) выбирают полином, хотя через заданные точки можно провести любое количество функций.

Метод Лагранжа заключается в построении полинома n-порядка при n+1 узле интерполяции на отрезке [x0,xn] по формуле: L(x)=y0 Q0(x)+…+ yn Qn(x),

где

Qj(xi)=0 при ij и Qj(xi)=1 при i=j

Погрешность интерполяции можно оценить по формуле

ЗАДАЧА 4.1. Найти значение f(x) в заданной точке, если задано её значение в четырёх узлах интерполяции.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА.

ДАНО. x0, x1, x2, x3 узлы интерполяции, х – заданное значение аргумента,

y0, y1, y2, y3 – значения функции в узлах.

НАЙТИ. f(x)

СВЯЗЬ. + + + +

Задание 4.1. Дана таблично заданная функция. Найти y при x=4

X

0

1

2

6

Y

-1

-3

3

1187

ЗАДАЧА 4.2.

Вычислить с помощью формулы Лагранжа для трех узлов интерполяции. Определить погрешность вычисления.

РЕШЕНИЕ.

В качестве узлов интерполяции выберем такие (близкие к заданному), в которых значения функции можно вычислить точно: х0=100; х1=121; х2=144

x

100

121

144

y

10

11

12

Для оценки погрешности вычисления по трем точкам необходимо найти третью производную функции

Следовательно, в полученном результате 2 верных десятичных знака

y(117)≈10,82

– результат, полученный на калькуляторе.

Задание 4.2. Вычислить с помощью формулы Лагранжа значение у для трех узлов интерполяции. Определить погрешность вычисления.

1) 2) y=383

Метод Ньютона заключается в построении полинома n-порядка при n+1 узле интерполяции на отрезке [x0,xn], используя конечные разности.

Конечной разностью первого порядка называется разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции: Из конечных разностей первого порядка можно образовать конечные разности второго порядка и т.д.

Общая формула для вычисления конечной разности k-ого порядка в i-ой точке:

Можно заметить, что при наличии n+1 точки конечную разность первого порядка можно вычислить только для первых n точек, конечную разность k-го порядка только для n-k+1 точек, а конечную разность n-го порядка – только для нулевой точки.

Обычно метод Ньютона используется для равномерно расположенных узлов интерполяции, т.е.

Для интерполяции в начале таблицы и экстраполяции назад удобно использовать первую интерполяционную формулу Ньютона:

На практике часто используют первую формулу Ньютона в другом виде:

, где

Для интерполяции в конце таблицы и экстраполяции вперед рекомендуется использовать вторую интерполяционную формулу Ньютона:

На практике часто используют вторую формулу Ньютона в другом виде:

, где

Погрешность интерполяции можно оценить по формуле

Т.к. обычно производную n-го порядка найти трудно, то её можно выразить через конечную разность

Обозначим . Тогда

ПРИМЕЧАНИЕ.

Чтобы получить более точное решение (уменьшить погрешность), в качестве x0 и xn выбирают узлы, ближайшие к искомой точке.

ЗАДАЧА 4.3.

1) Функция задана таблично:

x

2,0

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

y

1,1

0,9

0,85

0,7

0,63

0,5

0,3

Найти значение функции и оценить погрешность.

1) у(2,05) 2) y(2,23) 3) y(2,38)

РЕШЕНИЕ.

Составим таблицу конечных разностей:

x

2

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

y

1,1

0,9

0,85

0,7

0,63

0,5

0,3

y

-0,2

-0,05

-0,15

-0,07

-0,13

-0,2

2y

0,15

-0,1

0,08

-0,06

0,07

3y

-0,25

0,02

-0,14

-0,13

h=0,1

1) y(2,05)

Заданное значение аргумента находится в начале таблицы, поэтому используем первую интерполяционную формулу Ньютона. x0=2,0

q=(2,05-2,0)/0,1=0,5

Используем для интерполяции только 3 первые точки, т.е. n=2.

у(2,05)=1,1+(-0,2) · 0,5+0,15 · 0,5 · (0,5–1)/2=0,98125

Из таблицы находим, что М3=0,25. Тогда

2) y(2,23)

x0=2,2

3) Используем вторую интерполяционную формулу.

Задание 4.3.

Функция задана таблично:

x

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

y

0,03983

0,07926

0,11791

0,15542

0,19146

0,22575

Найти у(0,58) и оценить погрешность.

Метод сплайнов заключается в нахождении функции (сплайна), которая состоит из ряда полиномов, своих для каждого интервала. Полиномы соседних интервалов стыкуются так, чтобы функция была непрерывной. Т.е. строится система уравнений, в которой значения функций для каждого интервала в узлах интерполяции совпадают. Дополнительными условиями для поиска коэффициентов полиномов является непрерывность нескольких производных. Например, кубический сплайн склеивается из полиномов третьей степени, которые для i-го участка записываются так: