3.3 Уравнение ценообразования apt для однофакторной модели

Если инвесторы будут покупать акции 1-го вида, то курс этих акций поднимется вследствие увеличения спроса. А это повлечет за собой падение ожи­даемой доходности. Если же инвесторы продают акции 2-вида, то это повлечет за собой падение курса этих акций и повышение ожидаемой доходности.

Эту за­висимость отражает следующее уравнение:

где P₀ – текущий курс акции, а Р₁ — ожидаемый курс акции в конце периода.

Подобная деятельность по покупке и продаже будет продолжаться до тех пор, пока все арбитражные возможности не будут существенно сокращены или ис­черпаны. В этом случае зависимость между ожи­даемыми доходностями и чувствительностями акций к факторам:

где ₀ и ₁ являются константами. Это уравнение ценообразова­ния для финансового актива в модели APT, когда доходы генерируются одним фактором. В состоянии равновесия зависимость между ожидаемыми доходностями и чувствительностями линейна.

Оценим значения параметров уравнения. Из уравнения ценообразования следует, что =₀ для любого актива с b_i=0. В случае существования безрискового актива также известно, что =r_f и, следовательно, ₀ = r_f. Таким образом:

Для оценки ₁ рассмотрим чистый факторный портфель (pure factor portfolio), обозначаемый р*, имеющий единичную чувствительность к фактору, т.е. b_р*=1. В соответствии с уравнением ценообразования такой порт­фель обладает следующей ожидаемой доходностью:

=r_f + ₁.

Это уравнение можно переписать в виде – r_f = ₁.

Следовательно, ₁ является ожидаемой избыточной доходностью (т.е. ожидаемой до­ходностью сверх безрисковой ставки) портфеля, имеющего единичную чувствитель­ность к фактору. Поэтому ₁ называется премией за факторный риск (factor risk premium). Пусть ₁= , тогда уравнение ценообразования APT:

3.4 Многофакторные модели

В случае k факторов (F₁, F₂,…, F_k) каждая ценная бумага будет обладать чувствительностями (b_i1, b_i2,…, b_ik) в следующей модели:

или

Перейдем к расширенной версии уравнений ценообразования. ₀ равно безрисковой ставке, так как безрисковый актив не чувствителен ни к какому фактору. Каждое значение _j. равно ожидаемой доходности портфеля акций, имеющего единичную чувствительность к фактору j и ну­левую чувствительность ко всем остальным факторам:

Следовательно, ожидаемая доходность акции равна сумме безрисковой ставки и k пре­мий за риск, основанных на чувствительностях акций к k-факторам.

3.5 Синтез apt и сарм

Если доходы генерируются по однофакторной модели и этим фактором является рыночный портфель (market portfolio), то ₁ соответствует ожидаемой доходности рыночного портфеля и b_i означает коэффициент «бета» акции i по отношению к рыночному портфелю. Следовательно, модель САРМ описывает этот случай.

Если рассматриваемый в модели фактор не является рыночным портфелем и САРМ справедлива, то ожидаемая доходность ценной бумаги i связана и с ее коэффициентом «бета», и с чувствитель­ностью:

Ожидаемая доходность линейно связанна и с коэффициентом «бета», и с чувствительностями потому, что:

(в главе о САРМ )

где COV(F₁, r_M) означает ковариацию между фактором и рыночным портфелем, а означает дисперсию доходности рыночного портфеля. Величина COV(F₁, r_M)/ =const для всех ценных бумаг, откуда следует, что _iM есть const, умноженные на b_i.

Из этого соотношения можно заключить, что

откуда оценка премии за факторный риск ₁:

Таким образом, если фактор положительно коррелирован с рыноч­ным портфелем, то ожидаемая доходность ценной бумаги будет положительной функ­цией чувствительности ценной бумаги к этому фактору и наоборот: если фактор меняется в направлении, противоположном рыночному портфелю, то ₁ будет отрицательной, то есть, чем больше величина b_i, тем меньше ожидаемая доходность ценной бумаги.

Сравнение моделей САРМ и АРТ

САРМ и АРТ подчеркивают, что ожидаемая доходность зависит от степени риска, определяемого общеэкономическими факторами и не подвержена влиянию индивидуального риска. В модели АРТ возможно предположить, что эти факторы представляют особые портфели акций, которые обычно испытывают общее влияние. Если ожидаемая премия за риск для каждого из таких портфелей пропорциональна рыночной  портфеля, то САРМ и АРТ дадут одинаковый результат.

Преимущество АРТ перед САРМ в том, что понятие рыночного портфеля отсутствует в модели и, соответственно, устранена проблема оценки рыночного портфеля и проверки модели (АРТ может быть проверена по выборке рисковых активов).

Недостатком АРТ является то, что теория не объясняет какие факторы считать основными – в отличие от САРМ, которая сводит все риски, определяемые макроэкономическими факторами, к одному – доходности рыночного портфеля. АРТ служит хорошим инструментом для оценки ожидаемого значения доходности, если возможно:

1. Определить приемлемо короткий перечень макроэкономических факторов;

2. Оценить премии за ожидаемый риск по каждому из этих факторов;

3. Определить чувствительность каждой акции к этим факторам.

По этим трем проблемам ведутся исследования. По первой проблеме различными исследователями были определены наборы факторов от трех до пяти:

1. В работе Чена, Ролла и Росса: темп прироста промышленного производства, величина инфляции (ожидаемая и реальная), разница между долгосрочными и краткосрочными ставками, разница между надежными ненадежными облигациями.

2. Исследователи Берри, Бурмейстер, Макэлрой выделяют пять факторов. Три из них близки к трем последним первой группы исследователей, другие два – темпы прироста усредненных продаж в экономике и ставка доходности индекса S&P 500.

3. Salomon Brothers: инфляция, темп роста ВВП, процентная ставка, ставка изменения цен на нефть, темп роста расходов на оборону.

Все три набора факторов имеют общие характеристики:

1. Отражают показатели общей экономической активности (промышленное производство, общие продажи, ВВП);

2. Учитывают инфляцию;

3. Содержат разновидности фактора процентной ставки. Замечание. Цена акции может рассматриваться как дисконтированная величина будущих дивидендов. Будущие дивиденды, в свою очередь, зависят от общей экономической ситуации, а ставка дисконтирования зависит от инфляции и процентных ставок.