- •Высшего профессионального образования
- •Алгебра и геометрия
- •Г. Набережные Челны
- •1.Цель и задачи дисциплины, её место в учебном процессе.
- •2. Содержание и структура дисциплины.
- •2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
- •Раздел I. Линейная алгебра.
- •Тема 1. Определители.
- •Тема 2. Матрицы.
- •Тема 3. Системы линейных уравнений.
- •Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство.
- •Раздел III. Аналитическая геометрия
- •Тема 8. Прямые линии и плоскости.
- •Тема 9. Кривые и поверхности второго порядка.
- •Тема 10. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.
- •3. Рекомендуемая литература. Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •5.1. Задания для контрольной работы.
- •5.2. Вопросы к экзамену.
- •Раздел I. Линейная алгебра.
- •Раздел II. Векторная алгебра.
- •Раздел III. Аналитическая геометрия.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •3А) Находим матрицу , обратную к , методом присоединённой матрицы, по формуле: , где:
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Определители.
- •Тема 2. Матрицы.
- •Тема 3. Системы линейных уравнений. Модель Леонтьева.
- •Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство.
- •Тема 5. Линейные операторы. Собственные числа и векторы.
- •Тема 6. Квадратичные формы.
- •Тема 7. Векторная алгебра.
- •Тема 8. Прямые линии и плоскости.
- •Тема 9. Кривые второго порядка.
- •Тема 10. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.
- •6.3 Образец оформления обложки с контрольной работой. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение
- •«Камская государственная инженерно-экономическая академия»
- •Набережные Челны
- •6.4. Таблица номеров выполняемых заданий.
Тема 10. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.
Линейным неравенством называют неравенство вида: , где - некоторые числа, - координаты точки пространства . Совокупность всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству, называют областью решений данного неравенства.
Для пространства линейное неравенство имеет вид . Его областью решений является одна из полуплоскостей, на которые граничная прямая делит плоскость . Для того, чтобы установить какая из полуплоскостей удовлетворяет данному неравенству выбирают «пробную» точку и проверяют, удовлетворяет ли она ограничению-неравенству. Если удовлетворяет, то неравенство выполняется в полуплоскости, содержащей «пробную» точку, в противном случае берётся другая полуплоскость. В качестве «пробной» точки выбирают любую точку, не принадлежащую граничной прямой. Полуплоскость, в которой неравенство выполняется, отмечают стрелками, направленными внутрь данной полуплоскости.
Системой линейных неравенств называют систему неравенств вида:
,
где - коэффициенты системы, - свободные члены системы. Совокупность всех точек , координаты которых удовлетворяют каждому из неравенств, называют областью решений системы неравенств.
Для пространства система линейных неравенств имеет вид
.
Её областью решений является пересечение полуплоскостей, ограниченных прямыми, уравнения которых получают из неравенств заменой в них знаков неравенств на знаки равенств
Линейное программирование – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Задачи линейного программирования (ЗЛП) являются задачами оптимизации и широко применяются для решения экономических задач.
Существует несколько форм записи задачи линейного программирования.
Общей задачей линейного программирования называют задачу:
Симметричной задачей линейного программирования называют задачу:
или
Канонической задачей линейного программирования называют задачу:
Функция называется целевой функцией; величины называются переменными задачи; система уравнений и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи называется системой ограничений; любой -мерный вектор удовлетворяющий системе ограничений называется допустимым решением (планом) задачи линейного программирования; множество всех допустимых решений называется областью допустимых решений; допустимое решение ЗЛП, при котором целевая функция достигает экстремума называется оптимальным решением (оптимальным планом) задачи линейного программирования.
Все формы записи ЗЛП эквивалентны. ЗЛП с двумя переменными может быть решена графическим методом, который основан на возможности графического изображения области допустимых решений задачи и нахождения среди них оптимального решения. Область допустимых решений ЗЛП строится как пересечение областей решений каждого из ограничений, входящих в систему ограничений задачи. Для нахождения среди допустимых решений оптимального решения используют линии уровня целевой функции. Линией уровня целевой функции называется прямая , на которой целевая функция принимает постоянное значение . Все линии уровня параллельны между собой. Их нормаль показывает направление наибольшего возрастания значений целевой функции, а вектор ( ) – направление наибольшего убывания.
Если построить на одном рисунке область допустимых решений, вектор ( ) и одну из линий уровня, например , то задача линейного программирования сводится к определению в области допустимых решений точки в направлении вектора ( ), через которую проходит линия уровня ( ), соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции . В этом и состоит графический метод решения ЗЛП.
Примером экономической задачи, сводящейся к задаче линейного программирования, является задача оптимального использования ресурсов.
При производстве видов продукции используется видов ресурсов. Известны: - запасов ресурсов; ( ) - расход -ого вида ресурса на производство одной единицы -ого вида продукции; - прибыль, получаемая от реализации одной единицы -ого вида продукции. Требуется составить план выпуска продукции , где - объём выпуска -ой продукции, который обеспечивает максимальную прибыль . Математическая модель такой задачи имеет вид:
и является задачей линейного программирования.