- •Высшего профессионального образования
- •Алгебра и геометрия
- •Г. Набережные Челны
- •1.Цель и задачи дисциплины, её место в учебном процессе.
- •2. Содержание и структура дисциплины.
- •2.1 Содержание дисциплины (наименование и номера тем).
- •Раздел I. Линейная алгебра.
- •Тема 1. Определители.
- •Тема 2. Матрицы.
- •Тема 3. Системы линейных уравнений.
- •Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство.
- •Раздел III. Аналитическая геометрия
- •Тема 8. Прямые линии и плоскости.
- •Тема 9. Кривые и поверхности второго порядка.
- •Тема 10. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.
- •3. Рекомендуемая литература. Основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •4. Методические указания по изучению дисциплины.
- •5. Материалы для контроля знаний студентов.
- •5.1. Задания для контрольной работы.
- •5.2. Вопросы к экзамену.
- •Раздел I. Линейная алгебра.
- •Раздел II. Векторная алгебра.
- •Раздел III. Аналитическая геометрия.
- •6. Приложения.
- •6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
- •3А) Находим матрицу , обратную к , методом присоединённой матрицы, по формуле: , где:
- •6.2. Краткие теоретические сведения.
- •Тема 1. Определители.
- •Тема 2. Матрицы.
- •Тема 3. Системы линейных уравнений. Модель Леонтьева.
- •Тема 4. Системы векторов. N-мерное векторное пространство. Евклидово пространство.
- •Тема 5. Линейные операторы. Собственные числа и векторы.
- •Тема 6. Квадратичные формы.
- •Тема 7. Векторная алгебра.
- •Тема 8. Прямые линии и плоскости.
- •Тема 9. Кривые второго порядка.
- •Тема 10. Системы линейных неравенств. Линейные задачи оптимизации.
- •6.3 Образец оформления обложки с контрольной работой. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение
- •«Камская государственная инженерно-экономическая академия»
- •Набережные Челны
- •6.4. Таблица номеров выполняемых заданий.
Тема 2. Матрицы.
Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел ( , ): , состоящая из строк и столбцов. Если необходимо указать размеры матрицы, то пишут .
Если , то матрица называется квадратной.
Нулевой называется матрица , все элементы которой равны нулю, например: . Единичной называется квадратная матрица , на главной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, например: . Треугольной называется квадратная матрица , все элементы которой расположенные по одну сторону от главной диагонали равны нулю, например: . Трапециевидной (ступенчатой) называется матрица , все элементы которой, расположенные ниже элементов равны нулю, например: .
Матрицы и называются равными и пишут , если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны: , , .
Матрицы можно транспонировать, складывать, вычитать, умножать на число, умножать на другую матрицу.
Транспонированной к матрице называется матрица , столбцами которой являются соответствующие строки матрицы .
Суммой (разностью) матриц и одного размера , называется матрица того же размера, для которой:
, , .
Произведением матрицы размера на число называется матрица того же размера, для которой: , , .
Линейной комбинацией матриц и одного размера , называется матрица того же размера ( и - произвольные числа), для которой: , , ,
Произведением матрицы на матрицу называется матрица , каждый элемент которой вычисляется по правилу:
, , .
Операция умножения матрицы на матрицу определена не для всех матриц, а только для таких у которых число столбцов левой матрицы равно числу строк правой матрицы . Такие матрицы называются согласованными для умножения. Поэтому прежде чем выполнять операцию умножения матрицы на матрицу следует проверить их согласованность для умножения и определить размерность матрицы-произведения (если умножение матриц возможно): . Особенность операции умножения матриц состоит в том, что в общем случае: , т.е. переместительное свойство места не имеет.
Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;
4) вычёркивание нулевой строки (столбца).
Матрицы и , полученные одна из другой в результате элементарных преобразований называются эквивалентными и пишут .
Обратной к квадратной матрице порядка , называется матрица того же порядка, если: , где - единичная матрица порядка .
Квадратная матрица называется невырожденной, если её определитель . Обратная матрица всегда существует для невырожденных матриц.
Основными методами вычисления обратной матрицы являются:
Метод присоединённой матрицы. Если -невырожденная матрица, то , где - присоединённая матрица, для которой: . Здесь - алгебраические дополнения элементов матрицы .
В частности, если , то
Метод элементарных преобразований. Для данной квадратной матрицы порядка строится прямоугольная матрица размера приписыванием к справа единичной матрицы. Далее, с помощью элементарных преобразований над строками, матрица приводится к виду , что всегда возможно, если - невырожденная.
Матричными называются уравнения вида: , , ,
где матрицы - известны, матрица - неизвестна. Если квадратные матрицы и - невырожденные, то решения матричных уравнений записываются, соответственно, в виде: , , .
Минором -ого порядка матрицы размера называется определитель квадратной матрицы порядка , образованной элементами матрицы , стоящими на пересечении произвольно выбранных её строк и столбцов . Максимальный порядок отличных от нуля миноров матрицы , называется её рангом и обозначается или , а любой минор порядка , отличный от нуля – базисным минором.