- •Лекции по дифференциальной геометрии §1. Вектор-функция одного скалярного аргумента
- •§2. Предел вектор-функции
- •§3. Свойства пределов вектор-функции
- •§5. Производная вектор-функции
- •§6. Техника дифференцирования
- •§7. Производные высших порядков
- •§8. Путь
- •При любом те [а, р ] г (/(т) ) — g(t).
- •§9. Кривая. Касательная к кривой.
- •§10. Нормальная плоскость кривой
- •§11. Производная единичной вектор-функции
- •§12. Длина дуги кривой
- •§13. Формулы Френе
Лекции по дифференциальной геометрии §1. Вектор-функция одного скалярного аргумента
З
i
ададим в трехмерном евклидовом пространстве Е3 прямоугольную декартову систему координат R= (О, *,у, к). Пусть каждому действительному числу t из промежутка \а,Ь] поставлен в соответствие вектор r = г (г), отложенный от начала координат. Тогда будем говорить, что на [с/, /7]задана вектор-функция от одного скалярного аргумента t. При каждом / будем иметь вектор г (7), который разлагается по ортам /, у, к :
r (0= x(t) i + у (I) j +z(t) к (1.1)
'Здесь x(t), у((), z(t) - три скалярные функции от аргумента /, которые называются координатами или компонентами вектор- функции. Задание вектор-функции г (I) равносильно заданию )тих трех скалярных функций.
§2. Предел вектор-функции
Вектор а называется пределом вектор-функции г (!) в точке / = t0 , если для любого положительного числа 8 >0 найдется число 5>0 такое, что из неравенства | / - /0|< 5 следует
неравенство г (t) - а \ < 8.
Обозначается : lim r{t) = а
i-*iQ
Пусть в ортонормированном репере R= (О, /, /, к) задана вектор-функция
г (t)= x(t) i + y(t) j + z(t) к
Имеет место
Теорема 2.1. Для того, чтобы вектор-функция г = г (/) имела своим пределом вектор а в точке t = to , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели пределы три ее координаты x(i), y(t), z(t). При этом, если
lim x{t) = х0, lim y(t) = yQ, lim z(t) = z0,
i >/„ /->/0 i->t0
to a = x0 i + yo j + z0 k.
Доказательство.
Необходимость. Пусть вектор a = Xo i + yo j + Zq к предел вектор-функции г = г (t) в точке t = t0 Тогда, по определению предела вектор-функции, для любого £ >0 найдется число 5 >0 такое, что из | t - t01 < 5 следует | r (t) - а | <£. Но r (t) -а = {x(t) - х0, у(t -yo, z(t) - zо},
\r(t)-a\= ^(x{t)-x0f +{уО)~УоУ +(z(O-^0)2 <£ •
Если в подкоренном выражении мы отбросим два из трех неотрицательных слагаемых, неравенство усилится. Таким образом, получим:
|x'(t) - xo < £, y(t) -у0\ < 8, z(t) - Zo\ < 8.
Следовательно, скалярные функции x(t), y(t), z(t) имеют своими пределами соответственно Хо, у о, z(). Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть в точке t = t0 функции x(t), y(t), z(t) имеют пределы х0, yo, z0 соответственно. Тогда, по определению предела обычной функции, для любого 8 >0 найдется число 5 >0 такое, что из |t - t0 \ < 8 следует:
£
£
<
3 3 - з
Рассмотрим вектор а = хо i + yo j + z0 к . По свойству модуля вектора: модуль суммы векторов не превосходит суммы модулей, - имеем:
г (t)-a | = I (x(t) -хо) / +(y(t)-yo)j +(z(t)-z0) к | <
£
< |.\'(t) - Х0| + |Y(t) - yo| + \z{t) -ZoI < — + — + — = 8. Итак,
££ 1 13 3 3
§3. Свойства пределов вектор-функции
1 Тусть а = Л = b(t) - две вектор-функции скалярного аргумента, а Я Я(%) - скалярная функция того же аргумента на промежутке [а, р]. И пусть при t —> tQ
lim a(t) = a0 , lim b(t) = b0 , lim A(/) =
/->/„ /_>/() '—Hq
Тогда:
Предел суммы двух вектор-функций a(t) и b(t) существует и равен сумме пределов:
lim (а(0 ± b(t)) = а0 ± Ь0
1—>10
Предел произведения скалярной функции X(t) на вектор-функцию а(0 существует и равен Я0 aQ:
lim X(t) a(t) = Я0 -а0
t—>t0
Предел скалярного произведения двух вектор- функций a(tj- b(t) существует и равен скалярному произведению их пределов:
lim a{t) • b(t) = а0 ■ b{)
t-*t о
Предел векторного произведения двух вектор- функций [a(t)- b(l)] существует и равен векторному произведению их пределов:
\\m[a(t)-b(t)] = [a0-b0]
t->t „
Все эти свойства непосредственно следуют из теоремы 2.1
Вектор-функция г = г (!) называется непрерывной в точке t = t„, если lim r{t) = r(t0).
Теорема 4.1. Вектор-функция г (^= / + y(t) j + z(^ к
непрерывна в точке t = tQ тогда и только тогда, когда в этой точке непрерывны все ее координаты x(t), y(t), z(t), то есть, lim x{t) = x(t0), lim y(t) = y{t0), lim z(t) = z(t0).
/—>/,1 / —I —И()
Следует непосредственно из теоремы 2.1.