- •Лекции по дифференциальной геометрии §1. Вектор-функция одного скалярного аргумента
- •§2. Предел вектор-функции
- •§3. Свойства пределов вектор-функции
- •§5. Производная вектор-функции
- •§6. Техника дифференцирования
- •§7. Производные высших порядков
- •§8. Путь
- •При любом те [а, р ] г (/(т) ) — g(t).
- •§9. Кривая. Касательная к кривой.
- •§10. Нормальная плоскость кривой
- •§11. Производная единичной вектор-функции
- •§12. Длина дуги кривой
- •§13. Формулы Френе
§8. Путь
Пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная вектор-
функция г = г (/). С помощью вектор-функции г (t) порождается некоторое отображение отрезка [а,/?] в пространство, если каждому числу t е [a,h] поставить в соответствие точку M(t) - конец вектора г (().
Б удем говорить, что э го отображение определяет в пространстве некоторый путь I. Вектор- функцию г = г (г) будем называть параметрическим представлением пути /.
Путь / называется регулярным, если определяющая его вектор-функция r{t)eC*ab] и всюду
на промежутке [а, b ] г \t) * 0.
Если к= 1, то путь называется гладким. Пусть путь / определяется вектор-функцией г = г (г), где t е [a, b], а путь т
вектор-функцией g = g(т), те [а, (5 ]
Два регулярных пути / и т называются эквивалентными, если определяющие их вектор-функции r(t)eC*ab],
g(z) е С^и /Л удовлетворяют условиям:
Существует функция t = f(r) класса С , причем,
f(a) = a, f(p) = Л и при любом те [а, /3] f '(т) * 0;
При любом те [а, р ] г (/(т) ) — g(t).
§9. Кривая. Касательная к кривой.
Кривой или линией назовем класс эквивалентных между собой регулярных путей. Класс эквивалентных между собой гладких путей будем называть гладкой кривой.
Всякая кривая вполне определяется одним из представителей класса регулярных путей, т.е. вектор-функцией г = г (7). Поэтому в дальнейшем будем говорить, что кривая задастся вектор-функцией г = г {t) одного скалярного аргумента.
Пусть кривая задана вектор-функцией г = г (t). Придадим
а
А
ргументу t приращение A t . Функция г (/) получит приращение А г = г (t+At) - г (t).
Вектор А г определяет секущую ЛВ для кривой /. Как известно, касательной к кривой в О / точке А называется предель
ное положение секущей АВ, когда точка В стремится по
кривой к точке А. Но
А г
lim r'(t)
Д/->0 Д/
Следовательно, вектор г '(t) направлен по касательной к кривой. По определению кривой производная г '(() ^ 0 во всех точках. значит, во всех точках кривой существует касательная.
Выведем векторное уравнение касательной к кривой в точке Ма. Пусть г,) - радиус-вектор точки Mo , R - радиус-вектор текущей точки касательной. Тогда векторы R - г о и г ' коллин еарны. R - г о = X г ' или
R = п, + X г' (9.1)
Эго - векторное уравнение касательной к кривой. Уравнение (9.1) равносильно трем скалярным равенствам
х
(9.2)
= *0 + Ах', у = у„+Ху', z = z 0 + Я z ,которые называются параметрическими уравнениями касательной к кривой в точке М0 (хо , у0, zo). Я - параметр. Из параметрических уравнений легко получаются канонические уравнения:
= У-Уо = z~zo (д
§10. Нормальная плоскость кривой
С каждой точкой кривой связана плоскость, проходящая через эту точку перпендикулярно касательному вектору. Эта плоскость называется нормальной плоскостью кривой. Всякая прямая, лежащая в нормальной плоскости и проходящая через данную точку кривой, называется нормалью к кривой в этой точке. Таким образом, кривая в каждой своей точке имеет бесконечно много нормалей.
Выведем векторное уравнение нормальной плоскости
кривой.
Если r()- радиус-вектор точки Мо (х0 ,уо, z0), a R - радиус- вектор текущей точки нормальной плоскости, то векто
р
О
ы R - го = М0М и г ' взаимно перпендикулярны. Поэтому их скалярное произведение равно нулю:(R-r0,r') = 0 (10.1)
Это есть векторное уравнение нормальной плоскости.
Или в координатах:
(
(10.2)
х - Хо) х'+ (у-уо) у' + (z - z()) z'= О