- •Теория вероятностей
- •1. Элементы комбинаторики
- •1.1. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5, 7 если: а) цифры не повторяются; б) цифры могут повторятся?
- •Теоретико-множественная интерпретация операций над событиями
- •Дополнительные задания
- •§ 3. Вероятность случайного события
- •Классическое определение вероятности
- •Геометрическое определение вероятности
- •Аксиоматическое определение вероятности
- •3.2. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что:
- •3.3. Дано шесть карточек с буквами н, м. И, я, л, о. Найти вероятность того, что:
Теоретико-множественная интерпретация операций над событиями
Пусть проводится некоторый опыт со случайным исходом.
Множество Ω = {ω} всех возможных взаимоисключающих исходов данного опыта (испытания, эксперимента) называется пространством элементарных событий (коротко ПЭС), а сами исходы ω ‚ элементарными событиями (или «элементами», «точками»).
Случайным событием (или просто событием) называется любое подмножество множества Ω.
Элементарные события, входящие в подмножество А пространства Ω называются благоприятствующими событию А.
Множество Ω называется достоверным событием; ему благоприятствует любое элементарное событие, в результате опыта оно обязательно произойдет.
Пустое множество Ø называется невозможным событием; в результате опыта оно произойти не может.
Под операциями (действиями) над событиями понимаются операции над множествами, точнее – подмножествами пространства Ω.
Сумма (или объединение) двух событий А Ω и В Ω (обозначается А + В или А В) - это множество, которое состоит из элементов, принадлежащих хотя бы одному из событий А и В.
Произведение (или пересечение) двух событий А Ω и В Ω (обозначается А - В или А В) — это множество, которое состоит из элементов, общих для событий А и В.
Разность событий А Ω и В Ω (обозначается А — В или А \ В) — это множество, которое содержит те элементы события А, которые не входят в В.
Противоположным событию А Ω называется событие Ā = О \ А; множество А называют также дополнением множества А.
Событие А влечет событие В (или А есть подмножество В), если каждый элемент события А содержится в В; обозначается А Í В
По определению Ø Í А для любого А
События А и В называются несовместными, если их произведение (пересечение) есть невозможное событие, т. е.
Несколько событий А1, А2, …, Аn образуют полную группу несовместных событий, если их сумма представляет все ПЭС, а сами события попарно не совместны т. е.
Полную группу, в частности, образуют события А и ( ).
Операции над событиями (множествами) обладают следующими свойствами:
2.1. В урне находится 12 пронумерованных шаров. Опыт состоит в извлечении одного шара из урны. Требуется:
1) составить пространство элементарных событий для данного опыта;
2) указать элементарные события (исходы), благоприятствующие событиям: А={появление шара с нечетным номером), В = {появление шара с четным номером} С = {появление шара с номером большим, чем 3}, D = {появление шара с номером меньшим, чем 7);
3) пояснить, что означают события ;
4) указать, какие из пар событий А, В, С, D совместны а какие нет;
5) указать, какие из этих пар событий образуют полную группу, а какие нет;
6) привести примеры невозможного и достоверного событий;
7) принести пример другого пространства элементарных событий в данном опыте.
О 1) Пространство элементарных событий можно записать в виде , где - появление шара с номером i, где i = 1,2,., 12. Появление i-го шара можно обозначить и так: Шi , и т.д. Поэтому можно записать:
2) Рассмотрим события А, В, С, и D как подмножества пространства Ω. Элементарные события входящие в эти подмножества и являются благоприятствующими указанным событиям:
, ,
,
3) Событие означает, что событие В не происходит т.е. откуда ясно, что .
Событие является противоположным событию С, поэтому .
4) События А и В несовместны; события А и С, так же как А и D, В и С и другие совместны.
5) События А и В образуют полную группу и в результате опыта произойдет только одно из них: или А или В. Другие пары событий (А и С, В и D и т. д.) не образуют полную группу. Так, появление шара с номером 3 означает наступление двух событий: и А и В.
6) Событие Е1 (появление шара с номером 13) является невозможным событием, а событие Е2 = {появление шара с номером } достоверное т. е. Е2 = Ω.
7) Если в данном опыте нас интересует лишь то, что извлеченный шар имеет четный или нечетный номер, то можно считать , где появление шара с нечетным номером, - с четным.
Другим возможным пространством для описания данного опыта может быть такое , где появление шара с номером от 1 до 9 включительно, появление шара с номером 10, 11, 12 соответственно. Примером неправильно выбранного пространства может служить , где — появление шара с номером меньшим, чем 10, а – большем, чем 6. События и не являются элементарными, так как в результате опыта эти исходы могут наступить одновременно.
2.2. Указать пространства элементарных событий для следующих опытов (испытаний):
а) подбрасывание двух игральных костей;
б) стрельба по мишени до первого попадания;
в) наблюдение за временем безотказной работы прибора.
О а) Согласно правилу умножения (см. §1) число исходов в данном опыте равно 6 * 6 = 36. Изобразим пространство элементарных исходов (событий) в виде матрицы
где означает, что на первой игральной кости выпало i очков, а на второй j .
б) В данном случае пространство Ω теоретически бесконечно, но счетно. Обозначая знаком «+» попадание в цель при соответствующем выстреле, а знаком «-» промах получим такое пространство элементарных событий:
Ω={+, - +, - - +, - - - +, - - - - +, …}
Здесь, например, событие - - - + означает, что первые три выстрела были промахами, а на четвертый произошло попадание.
Можно записать ПЭС и так:
Ω = {1, 01 001, 0001,…},
где 1 означает попадание в цель, 0 - промах.
в) Здесь также исходов опыта (наблюдения) бесконечно много при этом множество Ω несчетное: , где — время безотказной работы прибора. Понятно, что в качестве результата наблюдения может появиться любое число .
2.3. Игральная кость бросается 1 раз. Описать пространство элементарных событий указать элементарные события, благоприятствующие событиям: А1 — выпало четное число очков; А2 — выпало не менее 4 очков; А3 — выпало более 6 очков.
2.4. Построить пространство Ω для следующих испытаний:
а) проводится одна игра в шахматы;
б) трижды подбрасывается монета;
в) подсчитывается число студентов группы, давших экзамены по теории вероятностей.
2.5. Какие из следующих пар событий являются несовместными, совместными:
а) А1 = {выход из строя телевизора, работающего в гостиной}, А2 = {на кухне};
б) А3 = {попадание при одном выстреле}, А4 = {промах};
в) А5 = {выпадение герба при бросании монеты}, А6 = {выпадение решки},
г) А7 = {хотя бы одно попадание при двух выстрелах} А8 = {два попадания}?
2.6. Образуют ли полную группу следующие события:
а) А3 и А4 из задачи 2.5;
б) А7 и А8 из задачи 2.5;
в) В0 = {ни одного попадания при трех выстрелах по мишени}, В1 = {одно попадание}, В2 = {два попадания}, В3 = {три попадания};
г) С1 = {покупатель купит товар хотя бы в одном из трех магазинов}, С2 = {не купит ни в одном магазине}.
2.6. Каждый из двух стрелков производит по одному выстрелу в мишень. Пусть событие А = {первый стрелок попал в цель}, событие В = {второй стрелок попал в цель}. Что означают события:
а) А + В; б) А · B; в) ?
О Составим пространство элементарных событий данного опыта: , где означает: первый стрелок промахнулся и второй промахнулся; первый попал, второй промахнулся и т.д. Тогда А = {(1-й стрелок попал, 2-й не попал) или (1-й стрелок попал, 2-й тоже попал)} =
а) Событие А + В состоит в том, что хотя бы один стрелок попал в цель. Событие (множество) А + В состоит из элементарных исходов, каждый из которых входит или в множество А или в множество В, или в оба эти множества, т.е.
б) Событие А · B состоит в том, что оба стрелка попали в цель. Оно состоит из элементарных событий, каждое из которых входит и в множество А, и в множество В. Следовательно, А · B = .
в) Событие состоит в том, что первый стрелок попал в цель, а второй — нет. Оно состоит из тех элементарных событий каждое которых входит и в множество А и в множество , т.е. .
2.8. Три студента независимо друг от друга решают одну и ту задачу. Пусть событие А1 - первый студент решил задачу, А2 — второй студент решил задачу, А3 — третий студент решил задачу. Выразить через события Аi (i = 1 2, 3) следующие события:
1) А = {все студенты решили задачу};
2) В = {задачу решил только первый студент);
3) С = {задачу решил хотя бы один студент};
4) В = {задачу решил только один студент},
О 1) Осуществление события А означает, что произошли события А1, А2 и А3 одновременно, т. е. имеем произведение событий: А = А1· А2· А3 .
2) В этом случае событие А произошло, а события А2 и А3 не произошли т. е. произошли события . Следовательно
3) Событие С означает, что произошло или событие А1 или событие А2, или событие А3, или любые два из них или все вместе, т. е. имеем сумму событий: С = А1 + А2 + А3.
4) Задачу решит только первый студент , или только второй студент , или только третий студент , т. е. имеем сумму событий
.
2.9. Из корзины содержащей красные желтые и белые розы, выбирается один цветок. Пусть события А = {выбрана красная роза}, В = {выбрана желтая роза}, С = {выбрана белая роза}. Что означают события:
а) ; б) A + B; в) АС;
г) д) ; е) АВ + C?
2.10. В задаче 2.8 найти выражения для следующих событий:
а) Е = {с задачей не справился ни один из студентов);
б) Р = {задачу решило не более двух студентов}.
2.11. В задаче 2.1 выяснить, что означают следующие события:
а) А + В; б) A·D; в)
г) д) ; е)
2.12. Пусть А, В, С – три произвольных события. Выразить через А, В, С и их отрицания следующие события:
а) произошло только событие С; б) произошли все три события;
в) произошло по крайней мере одно из этих событий; г) произошло по крайней мере два события;
д) произошло только два события; е) ни одно событие не произошло;
ж) произошло не более двух событий.
2.13. Событие С влечет событие В. Что представляют собой события:
а) С + D, б) С·В, в) С—D; г) ?
2.14. Пусть событие А = {экзамен сдан}, а событие В = {сдан на отлично}. В чем состоят события:
а) А—В;
б) ;
в) ?
2.15. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рисунке 1. Событие Аi = {элемент с номером i вышел из строя}, i = 1,2,3. Событие В = {схема вышла из строя (разрыв цепи)}. Выразить события В и через события Аi.
Рис. 1.
Рис. 2.
2.16. Электрическая цепь составлена по схеме, приведенной на рисунке 2. Событие А1 = {элемент с номером i вышел из строя}, i = 1,2,3. Событие В = {разрыв цепи}. Выразить события В и через события Аi.
2.17. Упростить выражение А + А · В.
О А + А · В = А · Ω + А · В = А (Ω + В) = А (В + Ω) = А · Ω = A, т.е. А + АВ = А. Использованы свойства 5, 2, 1 операций над событиями.