3.3. Дано шесть карточек с буквами н, м. И, я, л, о. Найти вероятность того, что:
а) получится слово ЛОМ, если наугад одна за другой выбираются три карточки;
б) получится слово МОЛНИЯ, если наугад одна за другой выбираются шесть карточек и располагаются в ряд в порядке появления.
О
а) Из шести данных букв можно составить
трехбуквенных «слов» (НИЛ, ОЛЯ, ОНИ, ЛЯМ,
МИЛ и т.д.). Слово ЛОМ при этом появится
лишь один раз, т. е. т = 1. Поэтому
вероятность появления слова ЛОМ (событие
А) равна
.
б)
Шестибуквенные «слова» отличаются друг
от друга лишь порядком расположения
букв (НОЛМИЯ ЯНОЛИМ, ОЛНИЯМ и т. д.). Их
число равно числу перестановок из 6
букв, т.е.
,
Очевидно, что т=1. Тогда вероятность
появления слова МОЛНИЯ (событие В)
равна
3.4. Брошены 2 игральные кости. Найти вероятность того, что:
а) сумма выпавших очков не превосходит 7;
б) на обеих костях выпадет одинаковое число очков;
в) произведение выпавших очков делится на 4;
г) хотя бы па одной кости выпадет 6 очков.
3.5. Код домофона состоит из 8 цифр, которые могут повторяться. Какова вероятность того что случайно набирая цифры, можно угадать нужный код?
3.6. Из букв А, С, Н, Н, А, А разрезной азбуки составляется наудачу слово состоящее из 6 букв. Какова вероятность того, что получится слово «АНАНАС»?
3.7. Восемь друзей распределяют места за круглым столом по жребию. Какова вероятность того что два из них, а именно А и В будут сидеть рядом?
3.8. Двое друзей, А и В, стоят в очереди из 8 человек. Найти вероятность того что:
а) А и В стоят рядом;
б) между А и В стоят два человека.
3.9. На 5 карточках написало по одной цифре из набора 1, 2, 3, 4, 5. Наугад выбираются две карточки. Какова вероятность того, что число на второй карточке больше чем на первой?
3.10. Из колоды в 36 карт извлекаются наудачу 4 карты. Какова вероятность событий: А = {все извлеченные карты пиковой масти}, В = {среди этих четырех карт окажется хотя бы один король}?
3.11. Из 40 вопросов, входящих в экзаменационные билеты, студент знает 30. Найти вероятность того что среди трех наугад выбранных вопросов студент знает:
а) 3 вопроса; б) 2 вопроса; в) 1 вопрос.
3.12. Три человека произвольно размещаются в 8 вагонах электрички. Какова вероятность того что все они:
а) зайдут в один вагон; б) зайдут в вагон № 3; в) разместятся в разных вагонах?
3.13. 12 человек, среди которых Петров и Иванов, размещаются в гостинице, в которой есть один 4-местный, два 3-местных и один 2-местный номер. Какова вероятность события А, состоящего в том, что Петров и Иванов попадут в 2-местный номер?
3.14.
На отрезок АВ длины а наудачу
нанесена точка С. Найти вероятность
того что меньший из отрезков АС и
СВ имеет длину, большую, чем
О Расположим отрезок АВ на числовой оси Ох так, как это изображено на рисунке 6.
Рис.
6.
Пусть
х координата случайной точки С.
Тогда пространство Ω элементарных
событий можно записать в виде
.
Ясно, что исходов опыта (нанесение точки
С на отрезок АВ) бесчисленное
множество и все они равновозможны.
Разобьем
отрезок АВ на б равных отрезков.
Очевидно, что условие «меньший из
отрезков АС и СВ имеет длину,
большую, чем
»
(событие А) будет выполнено, если
точка С попадет на отрезок
.
Таким образом, областью, благоприятствующей наступлению события А (на рисунке 6 она заштрихована), является отрезок МN, а множеству всех исходов опыта соответствует отрезок АВ. Отсюда
.
3.15. Противник в течение часа делает один десятиминутный налет на участок шоссе. В течение этого же часа нужно преодолеть этот опасный участок шоссе. С какой вероятностью можно избежать налета, если время преодоления опасного участка пять минут?
О
Обозначим через х момент времени,
когда начинается выход на опасный
участок шоссе, а через у – момент
времени начала обстрела этого участка
шоссе. Ясно, что
.
Будем
рассматривать х и у как декартовы
координаты на плоскости. Тогда элементарные
исходы в данном опыте (он состоит в
фиксации времени начала действий обеих
сторон), изобразятся точками (х, у)
квадрата со стороной Т = 60, т.е.
.
Интересующее нас событие А = {удастся избежать налета} наступит тогда и только тогда, когда налет начнется спустя пять (или больше) минут после выхода на опасный участок либо начнется за десять (и более) минут до начала преодоления участка шоссе, т. е. должно выполняться одно из условий
Эти неравенства определяют благоприятствующую событию А область D, заштрихованную на рисунке 7.
Рис.
7.
Площадь
области D равна
площадь квадрата Ω равна S(Ω)
= 60 · 60 = 3600. Тогда искомая вероятность
равна
Рис.
8.
3.16.
Какова вероятность того, что корни
уравнения
будут действительными, если коэффициенты
р и q уравнения
выбираются наудачу из отрезка [0, 1]?
О
Будем рассматривать множество всех
возможных пар чисел (р, q)
как координаты точек единичного квадрата
с вершинами (0, 0), (0, 1) (1, 1) (1, 0) (см. рис. 8).
Поэтому
Корни
уравнения действительны, если выполняется
неравенство
,
т. е.
.
Отсюда ясно что множество точек квадрата
благоприятствующих событию А =
{корни уравнения действительны} есть
область D (на рисунке
8 область D заштрихована):
Искомая вероятность равна
3.17. В некоторой точке С линии АВ длины L произошел разрыв. Какова вероятность того, что точка С удалена от точки А на расстояние не меньше l?
3.18. В круг радиуса r наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что эта точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника?
3.19. На пол, покрытый кафельной плиткой со стороной а = 6 см, случайно падает монета радиуса r = 2 см. Найти вероятность того, что монета целиком окажется внутри квадрата.
3.20.
На отрезке [0, 3] наудачу выбраны два числа
х и у. Найти вероятность того,
что эти числа удовлетворяют неравенствам
3.21. В сигнализатор поступают сигналы от двух устройств, причем поступление каждого из сигналов не зависит друг от друга и равновозможно в любой промежуток времени длительностью 3 часа. Сигнализатор срабатывает, если интервал между моментами поступления сигналов менее 0,15 ч. Найти вероятность того, что сигнализатор сработает в течение 3 часов, если каждое из устройств пошлет по одному сигналу.
3.22. Минное заграждение состоит из мин, расположенных в одну линию на расстоянии 50 м одна от другой. Ширина корабля 20 м. Какова вероятность того что корабль благополучно пройдет через заграждение?
3.23. В шар вписан куб. Найти вероятность того, что выбранная наудачу внутри шара точка окажется внутри куба.
3.24. Опираясь на аксиомы теории вероятностей доказать следующие утверждения:
а)
Р(Ø) = 0; б)
=
1 — Р(А).
О а) Так как Ø + Ω = Ω, то Р(Ø + Ω ) = Р(Ω). По аксиоме (3): Р(Ø + Ω) = Р(Ø) + Р(Ω), т. к. Ø · Ω = Ø . Итак, Р(Ø) +Р(Ω) = Р(Ω), откуда Р(Ø) = 0.
б)
Так как
и
,
то по аксиомам (2)—(3):
.
Отсюда
3.25. Доказать, что Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ).
О Так как А + В = А + (В — А) и В = (В — А) + АВ, причем А · (В — А) = Ø и (В — А) · АВ = Ø, то по аксиоме сложения (3) находим: Р(А + В) = Р(А) + Р(В — А) и Р(В) = Р(В — А) + Р(АВ), откуда Р(В — А) = Р(В) — Р(АВ). Следовательно, Р(А + В) = Р(А) + Р(В) — Р(АВ).
3.26.
Доказать, что для любых событий А и
В выполнено неравенство
.
3.27. Доказать, что для любых событий А, В и С
Р(А + B + С) = Р(А) + Р(В) + Р(C) — Р(АВ) — Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС).
3.28. Задача-шутка.
На дне глубокого сосуда
Лежат спокойно n шаров
Поочередно их оттуда
Таскают двое дураков.
Сие занятье им приятно
Они таскают m минут
И, взявши шар, его обратно
В сосуд немедленно кладут.
Ввиду условия такого
Сколь вероятность велика,
Что первый был глупей второго,
Когда шаров он вынул k?