4.5. Напряжения

При определении внутренних силовых факторов их считают приложенными в центре тяжести сечения. В действительности внутренние силы, являясь результатом взаимодействия частиц тела, непрерывно распределены по сечению. Интенсивность этих сил в разных точках сечения может быть различной.

При увеличении нагрузки на элемент конструкции увеличиваются и внутренние силы в материале конструкции, а, следовательно, увеличивается их интенсивность во всех точках сечения. Если в некоторой точке интенсивность внутренних сил достигнет определенного для данного материала значения, в этой точке возникает трещина, развитие которой приведет к разрушению элемента, или возникнут недопустимые пластические деформации. Следовательно, о прочности элементов конструкций следует судить не по значению внутренних силовых факторов, а по их интенсивности. Меру интенсивности внутренних сил называют напряжением.

Напряжение пропорционально внутреннему усилию и обратно пропорционально площади поперечного сечения.

К огда говорят о напряжениях, то имеют в виду напряжение в точке сечения. Учитывая принятое в сопротивлении материалов допущение, что материал детали однороден и изотропен, получаем, что напряжения в каждой точке сечения одинаковы. Следовательно, приведенное выше определение напряжения справедливо.

В сечении стержня (рис.4.8) выделена маленькая площадка ∆A, на которой действует внутренняя сила ∆R. Тогда среднее напряжение на площадке равно

.

Уменьшая размеры площадки до уровня точки, получим

– напряжение в точке сечения.

Векторная величина называется полным напряжением в точке. В международной системе единиц (СИ) за единицу напряжения принят паскаль (Па) – это напряжение, при котором на площадке 1 м² действует внутренняя сила 1 Н.

Полное напряжение можно разложить на две составляющие:

- составляющую σ, перпендикулярную к плоскости сечения, которая называется нормальным напряжением;

- составляющую τ, лежащую в плоскости сечения, называемой касательным или тангенциальным напряжением, причем касательное напряжение можно разложить по координатным осям на две составляющие и . Первый индекс при показывает ось, перпендикулярную сечению, второй – ось, параллельно которой действует напряжение. Если в расчетах направление касательного напряжения не имеет значения, его обозначают без индексов.

Между полным напряжением и его составляющими существует зависимость

.

Через точку тела можно провести бесконечное число сечений и для каждого из них напряжения имеют свое значение. Следовательно, при определении напряжений необходимо указывать положение не только точки тела, но и сечения, проведенного через эту точку.

Совокуп­ность напряжений для множества площадок, проходящих через данную точку, образует напряженное состояние в этой точке.

Напряжения в поперечных сечениях связаны с внутренними силовыми факторами определенными зависимостями.

Возьмем в сечении бесконечно малую площадку площадью . По этой площадке в общем случае действуют бесконечно малые (элементарные) внутренние силы (рис. 4.9)

; ;

Соответствующие элементарные моменты относительно координатных осей , , имеют вид:

; ; ; .

П росуммировав бесконечно малые силы и моменты, действующие в сечении, получим выражения, связывающие внутренние силовые факторы с напряжениями:

, , ;

, ,

. , где

- продольная сила, вызывающая удлинение (сжатие) стержня,

- поперечные силы, вызывающие сдвиг,

- крутящий момент – скручивание,

- изгибающие моменты, вызывающие искривление продольной оси.

В соответствии с теоремой Вариньона, известной из теоретической механики, и зависимостью между напряжениями , и , выражение для можно записать в виде

, где .

Интегральные зависимости можно использовать для определения напряжений по найденным методом сечений внутренним силовым факторам при условии, что известны законы распределения напряжений по сечению.

Размерность напряжений.

Напряжения измеряются в МПа. 1МПа= Па= Н/м²= Н/мм²

1МПа=1Н/мм²

Очевидно, что реальные (расчетные) напряжения в конструкции не могут расти до бесконечности, они должны быть ограничены.

Условия прочности конструкции

σ ≤σ_д ; τ ≤ τ_д ,

где σ_д и τ_д - допустимые нормальное и тангенциальное напряжения соответственно.

Из условия прочности следует, что решение любой прочностной задачи невозможно без знания численных значений допустимых напряжений. Во многих типовых расчетах, эти значения известны. Однако в большинстве реальных инженерных расчетов σ_д и τ_д неизвестны и разработчику приходится решать эту проблему.