- •Лекция12
- •4.17.3. Поперечный изгиб Напряжения при поперечном изгибе
- •П еремещения при плоском изгибе
- •Интеграл Мора
- •4.18.Устойчивость сжатых стержней
- •4.18.1. Понятие об устойчивости
- •4.18.2. Определение критической силы
- •4.18.3. Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера
- •4.18.4. Расчет на устойчивость стержней с гибкостью, меньше предельной
4.18.3. Критические напряжения. Пределы применимости формулы Эйлера
При осевом нагружении стержня критической силой в его поперечных сечениях возникают нормальные напряжения сжатия, называемые критическими
,
где imin – минимальный радиус инерции сечения, .
Безразмерная величина называется гибкостью стержня. Она характеризует сопротивляемость стержня потере устойчивости; с увеличением гибкости уменьшается сопротивляемость стержня. После подстановки λ в последнюю формулу она принимает вид .
Эта формула была выведена в предположении, что при сжатии возникают только упругие деформации. Следовательно, она справедлива при условии , где – предел пропорциональности напряжение-деформация материала стержня (см. диаграмма растяжения). Отсюда .
Стоящая в правой части неравенства постоянная для данного материала безразмерная величина называется предельной гибкостью
Таким образом, формула Эйлера применяется при условии .
4.18.4. Расчет на устойчивость стержней с гибкостью, меньше предельной
График зависимости σкр. от λ для стержней из пластичных материалов представлен на рис.4.48. В соответствии с данным графиком стержни условно делятся на три группы. Стержни большой гибкости , для которых критическое напряжение определяется по формуле Эйлера. Стержни средней гибкости , для которых критическое напряжение определяется по формуле Ясинского
,
г де a и b – экспериментальные коэффициенты.
Стержни малой гибкости , для которых соответствует , т.е. для пластичных материалов и для хрупких материалов. Такие стержни разрушаются от потери прочности. Поэтому их рассчитывают не на устойчивость, а на прочность при сжатии.
Значения коэффициентов a, b и гибкостей λ0, λпред приводятся в справочной литературе.
В практике расчета строительных конструкций очень часто проводят подбор сечений сжатых стержней именно из условия устойчивости. При этом используется формула , где – допустимые напряжения на сжатие; – коэффициент, зависящий от материала и гибкости стержня (берется из таблиц). Из последней формулы (1.18) имеем
.
Коэффициентом задаются в первом приближении (обычно = 0,5), определяют А, выбирают профиль. Затем определяют гибкость λ, уточняют φ и снова находят А. Расчеты продолжают до получения оптимального соотношения устойчивости и прочности (обычно это 2 или 3 итерации).
Пример
В качестве примера проверим на устойчивость подкос (рис.4.15).
Дано:
F = Ν = 3510 Н; Е = 8*104 МПа; l = b/Cos(35о) = 0,8/0,82 = 0,97 м;
А = 48 мм2, соответственно d = 8 мм; [σ] = 74 МПа, μ = 1.
Решение:
Определим критическую силу
.
Видим, что стержень диаметром 8 мм не выдерживает на устойчивость.
Возьмем обыкновенную водопроводную трубу 21,3х2,8 (труба с условным проходом 15мм). Площадь сечения трубы 162 мм2 > А = 48 мм2.
.
.
Коэффициент запаса устойчивости .
Труба проходит по всем параметрам.
Вывод: при создании реальных конструкций не всегда достаточно расчета отдельных элементов по одному из видов деформаций, необходим всесторонний анализ конструкции и проверочный или проектировочный расчет по всем возможным видам деформаций, если результат не очевиден.