-
Лекция 11
4.16. Деформация кручения
Э тот вид деформации происходит, когда к стержню прикладываются только крутящие моменты, например, на кручение работает карданный вал автомобиля. На кручение рассчитываются и другие валы, где крутящий момент имеет превалирующее значение в сравнении с другими внешними силами (валы электродвигателей, редукторов и др.).
Рассмотрим кручение консольно закрепленного стержня крутящим моментом, приложенным к его свободному концу (рис.4.27).
Нанесем на стержень прямоугольную сетку. Под действием крутящего момента стержень закрутится на некоторый угол и сетка исказится. Горизонтальные линии станут наклонными, а прямоугольники превратятся в параллелограммы. При этом, как показывают опыты, расстояние между параллельными сечениями не изменяются, то есть при кручении не происходит растяжения или сжатия стержня. Следовательно, при кручении отсутствуют нормальные напряжения, а возникают только касательные напряжения. К такому же выводу приводит и тот факт, что на поверхности стержня прямоугольники превращаются в параллелограммы. Подобная картина наблюдалась в деформации сдвига (среза), где в сечении возникали только касательные напряжения.
Если внешними являются только крутящие моменты, то внутренними будут тоже крутящие моменты.
И сходя из выше изложенного, можно записать условие прочности
- условие прочности при кручении, где Wρ - момент сопротивления сечения кручению (см. геометрические характеристики сечений).
К роме прочностных расчетов приходится определять углы закручивания стержня. Формула для определения угла закручивания имеет вид
рад.
Здесь Мкр – внутренний крутящий момент на участке стержня; l – длина участка стержня; G – модуль сдвига материала стержня; Jр – полярный момент инерции сечения участка стержня.
Методику расчетов на кручение рассмотрим на конкретном примере (рис.4.28).
Пример
На консольно закрепленный стержень с диаметром d = 20 мм действуют крутящие моменты (рис.4.28,а):
Мкр1 = 100 Н*м; Мкр2 = 200 Н*м;
Мкр3 = 500 Н*м;
σв = 900 МПа; G = 8*104 МПа;
a = 100 мм; b = 150 мм; c = 200 мм.
Определить:
1 – выдержит стержень приложенную нагрузку или нет
2 – минимальные диаметры участков стержня.
Построить:
3 – эпюру крутящих моментов;
4 –эпюру углов закручивания.
Решение.
Запишем условие прочности .
Оценим условия работы конструкции. Предположим, что условия работы опасные, принимаем n = 6. Тогда [σ] = σв/ n = 900/6 = 150 МПА;
[τ] = 0,5[σ] = 75 МПа.
С помощью метода сечений определим внутренние моменты.
Крутящий момент на отрезке “с” .
Крутящий момент на отрезке “b”
.
Крутящий момент на отрезке “a”
.
Эпюра крутящих моментов изображена на рис.4.28,б.
Зная d, определим момент сопротивления кручению
.
Наиболее опасным является отрезок “a”, поскольку в нем возникает наибольший (по модулю) крутящий момент. Напряжения на этом участке равны
, т.е. стержень не выдержит такую нагрузку.
Выделим из условия прочности Wρ .
Найдем Wρ на каждом участке стержня
.
( момент берется по модулю).
.
Определим диаметры на участках стержня по формуле .
На отрезках “с” и “b” .
На отрезке “с” .
Мы получили равнопрочный стержень, у которого напряжения во всех сечениях одинаковые и равны τд = 75 МПа, а вес минимальный из всех возможных при принятом коэффициенте запаса прочности.
Запишем формулу для определения углов закручивания
, где (1 рад. = 57,3 о).
На расстоянии “а” от свободного конца стержня угол закручивания
.
.
.
.
Эпюра углов закручивания показана на рис.4.28, в.