Пример расчета
Пусть необходимо рассчитать переходный процесс в цепи, показанной на рис.5.
Рис. 5 Рис. 6
Исходные данные: Е = 20 В, R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, L1 = 0,1 Гн.
Порядок расчета
1. Определяем величины, которые нужно рассчитать: iR1, iR2, iL1, uR1, uR2=uL1.
2. Находим принужденные значения величин. Для этого ветви с конденсаторами размыкаем, индуктивности заменяем участками с нулевым сопротивлением. В результате данную цепь можно представить виде, показанном на рис. 6. Из очевидных соображений (закон Ома) находим:
iR1пр = E/R1 = 2 А, iR2пр = 0, iL1пр = E/R1 = 2 А, uR1пр = E = 20 В, uR2пр = uL1пр = 0.
3. Находим корень характеристического уравнения. Составляем выражение для комплексного входного сопротивления цепи. Для этого необходимо разорвать любую ветвь, например ветвь с индуктивностью. Источник напряжения при этом заменяем участком с нулевым сопротивлением. Цепь приобретает вид, показанный на рис. 7.
Рис. 7
Пользуясь известными методами вычисления эквивалентных сопротивлений, находим
.
Заменяем j на p и приравниваем полученное выражение к нулю
Находим корень характеристического уравнения
с-1.
4. Расчет начинаем с тех величин, для которых выполняются законы коммутации. В нашем случае это iL1. Записываем решение в общем виде
iL1 = iL1пр + iL1св.
Подставляем выражения для свободной и принужденной составляющих
iL1 = 2 + A1ept.
Учитывая, что iL1(0-) = iL1(0+) = 0, для t = 0 получаем 0 = 2 + A1, откуда A1= -2 A.
Получаем выражение для iL1
iL1 = 2(1 – e-67t) A.
Далее находим iR1 = iR1пр + iR1св или
iR1 = 2 + A2ept.
Поскольку iL1(0+) = 0, то iR1(0+) = iR2(0+) = E/(R1 + R2) = 0,67 A.
Для t = 0 получаем 0,67 = 2 + A2, откуда A2 = -1,33 A. Получаем выражение для iR1
iR1 = 2 – 1,33e-67t A.
Величину iR2 находим по первому закону Кирхгофа
iR2 = iR1 – iL1 = 0,67e-67t A.
Находим uR1 и uR2 по закону Ома
uR1 = iR1R1 = iR1 = 20 – 13,3e-67t В.
uR2 = uL1 = iR2R2 = 13,3e-67t В.
5. Строим графики полученных зависимостей для токов и напряжений. Графики можно строить на миллиметровой бумаге или использовать какую-либо компьютерную программу, например, Advanced Grapher (бесплатная программа, которая выложена на сайте кафедры электротехники ИжГТУ).
Рис.8. Графики токов (iL1, iR1, iR2)
Рис.9. Графики напряжений (uR1, uR2 = uL1)
В любом случае для получения нормального масштаба графика желательно выбирать временной диапазон от нуля до -3/p, где p – корень характеристического уравнения. Шаг желательно брать примерно -0,5/p. В нашем случае это приблизительно 0,048 с и 0,008 с.
На рис.8 показаны графики для токов, на рис.9 – графики для напряжений. Графики построены с использованием программы Advanced Grapher.