Яблонский Д1, Д6 вариант 20
.docЗадание Д.1. Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки, находящейся под действием постоянных сил
Камень скользит в течение τ с по участку АВ откоса, составляющему угол α с горизонтом и имеющему длину l. Его начальная скорость vA. Коэффициент трения скольжения камня по откосу равен f. Имея в точке В скорость vB, камень через Т с ударяется в точке С о вертикальную защитную стену. При решении задачи принять камень за материальную точку; сопротивление воздуха не учитывать.
Дано:
α = 45°;
vA = 0;
f = 0,3;
d = 2 м;
h = 4м;
Определить:
l - ?
τ - ?
Решение. Рассмотрим движение камня на участке АВ. Принимая камень за материальную точку, покажем действующие на него силы: вес , нор-мальную реакцию и силу трения скольжения . Составим дифференциаль-ное уравнение движения камня на участке АВ:
mx'' = ∑Xi1; mx1'' = G∙sinα – F.
Сила трения
F = f∙N,
где
N = G∙cosα.
Таким образом,
mx1'' = G∙sinα – f∙ G∙cosα
или
x1'' = g∙sinα – f∙ g∙cosα.
Интегрируя дифференциальное уравнение дважды, получаем
x1' = g∙(sinα – f∙cosα) ∙t + С1;
x1 = (g∙(sinα – f∙cosα)/2) ∙t2 + С1∙t + C2;
Для определения постоянных интегрирования воспользуемся начальны-ми условиями задачи: при t = 0 х10 = 0 и x1' = 0.
Для t = 0: x1' =С1; х10 =С2.
Найдем постоянные: С1 = 0, С2 = 0.
Тогда
x1' = g∙(sinα – f∙cosα) ∙t
x1 = (g∙(sinα – f∙cosα)/2) ∙t2
Для момента τ, когда камень покидает участок,
x1' = vВ ; x1 = l,
т.е. l =(g∙(sinα – f∙cosα)/2) ∙ τ2;
vВ = g∙(sinα – f∙cosα) ∙ τ;
отсюда
τ = vВ/(g∙(sinα – f∙cosα));
Рассмотрим движение камня от точки В до точки С.
Показав силу тяжести , действующую на камень, составим дифферен-циальные уравнения его движения:
mx'' = 0; mу'' = G;
Начальные условия задачи: при t = 0
х0 = 0; у0 = 0;
x0' = vВ ∙ cosα; у0' = vВ ∙ sinα;
Интегрируем дифференциальные уравнения дважды:
x0' =С3; у0' =С4;
х0 = С5; у0 = С6.
Отсюда найдем, что
С3 = vВ ∙ cosα; С4 = vВ ∙ sinα;
С5 = 0; С6 = 0.
Получим следующие уравнения проекций скорости камня:
x' = vВ ∙ cosα, у' = g∙t + vВ ∙ sinα
и уравнения его движения:
x = vВ ∙ cosα ∙t, у = g∙t2/2 + vВ ∙ sinα∙t.
Уравнение траектории камня найдем, исключив параметр t из уравнений движения. Определив t из первого уравнения и подставив его значение во второе, получаем уравнение параболы:
у = g∙х2/(2 ∙ vВ2 ∙ cos2α) + х∙ tgα.
В момент падения у = h, x = d.
Отсюда h = g∙ d 2/(2 ∙ vВ2 ∙ cos2α) + d ∙ tgα.
Найдем vВ:
Зная vВ найдем τ и l:
τ = vВ/(g∙(sinα – f∙cosα));
τ = 4,43/(9,81∙(sin45 – 0,3∙cos45)) = 0,9 с;
l =(g∙(sinα – f∙cosα)/2) ∙ τ2;
l =(9,81∙(sin45 – 0,3∙cos45)/2) ∙ 0,92 = 2 м;
Задание Д.6. Применение основных теорем динамики к исследованию движения материальной точки
Шарик, принимаемый за материальную точку, движется из положения А внутри трубки. Найти скорость шарика в положениях В и С, давление шари-ка на стенку трубки в положении С и максимальное сжатие пружины h.
Дано:
m = 0,2 кг
vA = 10 м/с
τ = 1,0 с на АВ
R = 0,5 м
f = 0,1
α = 60°
h0 = 0 см
с = 1,2 Н/см
vB, vC, NC, h - ?
Скорость шарика в положении В найдем, применив на участке АВ теоре-му об изменении количества движения материальной точки:
Для определения vC применим теорему об изменении кинетической энергии материальной точки:
Определяем давление шарика на стенку канала в положении С.
В соответствии с принципом Даламбера для материальной точки геомет-рическая сумма сил, приложенных к точке, и силы инерции этой точки равна нулю:
Силу инерции материальной точки можно разложить на нормальную и касательную составляющие:
Сумма проекций сил на ось х должна быть равна нулю:
Отсюда
Для определения максимального сжатия h пружины воспользуемся на участке CD теоремой об изменении кинетической энергии материальной точки:
Учитывая, что vD = 0 и H3 = h, получаем
Принимаем в качестве искомой величины положительный корень квад-ратного уравнения:
h = 2,77 см = 0,0277 м
Ответ: vB = 9 м/с, vC = 8,7 м/с, NC = 31,3 Н, h = 0,0277 м