Задача 3

Підприємство виробляє за місяць а₁, а₂, а₃ тон компонентів А₁, А₂, А₃ , з яких шляхом змішування в пропорціях 1 : 1 : 1 та 3 : 1 : 2 отримують два вида продукції В₁ та В₂. Прибуток від реалізації 1 тони продукції В₁ складає 90 грн, 1 тони продукції В₂ – 120 грн. Визначити об^/єми виробництва продукції В₁ та В₂, які дозволяють отримати максимальний сумарний прибуток від реалізації. Значення а₁, а₂, а₃ наведені в табл. 6.6.

Таблиця 6.6 Вихідні дані до задачи 3

№ вар.	Виробництво компонентів, тон			№ вар.	Виробництво компонентів, тон			№ вар.	Виробництво компонентів, тон
	а1	а2	а3		а1	а2	а3		а1	а2	а3
1	1500	1200	1300	5	1500	1200	1200	9	1500	1200	1250
2	2100	1500	1600	6	2100	1500	1700	0	2100	1500	1800
3	1200	1000	1000	7	1200	1000	1100
4	1400	1200	1200	8	1400	1200	1250

Методичні вказівки до виконання задачі 3

В класичній задачі планування виробництва разглядається деяке підприємство, яке випускає n типів виробів і витрачає на них m типів ресурсів. Позначимо:

• а_ij – кількість і – того ресурсу для виробництва одиниці j – того виробу; а_ij ≥ 0; і = 1, 2,…,m; j = 1, 2,…, n;

• в_і – запас і – того ресурсу на підпріємстві; в_і > 0;

• с_j – ціна одиниці j – того виробу; с_j > 0;

• х_j – плануємий об^/єм виробництва j – того виробу.

Припускається, що технологія виробництва є лінійною, тобто витрати ресурсів зростають прямо пропорційно об^/єму виробництва. Окрім того, немає обмежень щодо збуту виробів на ринку, тобто будь – який набір виробів даного підприємства користується попитом.

Припустимим є такий набір виробів, при якому сумарні витрати кожного і – того ресурсу не перевищують його запасу:

(1)

Окрім того, існує природне обмеження:

х_j ≥ 0. (2)

Вартість набору виробів становить:

(3)

Задача формулюється наступним чином: серед всіх наборів випускаємих виробів, які задовольняють обмеженням (1) і (2), треба знайти такий, при якому величина (3) приймає найбільше значення.

Приклад виконання розрахунків до задачі 3

Підприємство випускає два види продукції А₁ та А₂ і використовує при виробництві кожного з них три види сировини В₁, В₂, В₃. Норми витрати сировини, об^/єми її запасів і прибуток від реалізації 1 тони продукції кожного виду наведені в таблиці 6.7. Треба скласти план виробництва продукції А₁ і А₂, який забезпечує максимум сумарного прибутку.

Таблиця 6.7 Вихідні дані до прикладу 3

Сировина	Норми витрат, т/т		Об^/єм запасів, т
	А1	А2
В1	0,5	0,2	600
В2	0,2	0,6	870
В3	0,3	0,2	430
Прибуток від реалізації 1 т продукції, грн	320	290

Розрахунок.

Позначимо об^/єми виробництва продукції А₁ та А₂ через х₁ та х₂. Тоді задача формалізується наступним чином:

max F = 320х₁ + 290х₂

при обмеженнях:

0,5х₁ + 0,2х₂ ≤ 600;

0,2х₁ + 0,6х₂ ≤ 870;

0,3х₁ + 0,2х₂ ≤ 430;

х₁ ≥ 0; х₂ ≥ 0.

На рис. 6.5 побудована припустима область рішень за допомогою означеної системи обмежень.

Координати вершин багатокутника та значення цільової функції в них:

• точка а:

х₁ =0; х₂ = 0; F = 0;

• точка в:

х₁ =0.

Точка в знаходиться на перетині ліній х₁ ≥ 0 та 0,2х₁ + 0,6х₂ ≤ 870, тому координату х₂ визначаємо з рівності:

0,2·0 + 0,6·х₂ = 870; х₂ = 1450; F = 320·0 + 290·1450 = 420500;

• точка с.

Координати визначаємо з сумісного рішення рівнянь 0,5х₁ + 0,2х₂ = 600 та 0,2х₁ + 0,6х₂ = 870. З першого рівняння визначаємо х₁ через х₂:

х₁= 1200 – 0,4х₂ .

Тоді з другого рівняння знаходимо х₂:

0,2(1200 – 0,4х₂) + 0,6х₂ = 870; х₂ = 1211,54.

Значення координати х₁ та цільової функції:

х₁ = 1200 – 0,4·1211,54 = 715,38; F = 320·715,38 + 290·1211,54 = 580270;

• точка d:

х₂ = 0.

З рівняння 0,5х₁ + 0,2х₂ = 600 отримуємо х₁ = 1200; тоді цільова функція:

F = 320·1200 + 290·0 = 384000.

Таким чином, рішенням є точка с з кординатами:

х₁^* = 715,38; х₂^* = 1211,54.