Методичні вказівки до виконання задачі 4
Як випливає з результатів опитування, деяки експерти не змогли віддати перевагу якомусь об’єкту серед декількох і вони приписали двом або кільком об’єктам один і той же черговий номер. Тобто, має місце ранжування зі збіжними рангами. Тому матрицю рангів приводять до нормального ранжування таким чином, щоб сума рангів у рядку кожного експерта дорівнювала:
l = 0,5(n + 1)n,
де n – кількість об’єктів експертизи.
При цьому об’єктам з однаковим рангом призначають ранг, який дорівнює середньому значенню місць, котрі ці об’єкти розділили між собою.
Для оцінки ступеня узгодженості думок експертів застосовують коефіцієнт конкордації (коефіцієнт одностайності Кендела):
,
де m – кількість експертів;
dі
= σі
-
- відхилення суми рангів по
і – тому об’єкту від
загального середнього значення;
- сума квадратів відхилень;
- середня оцінка об’єктів;
- сумарна оцінка і
– того об’єкта всіма
m
експертами.
В разі збіжних рангів значення коефіцієнту конкордації обчислюють за формулою:
,
де njk – кількість об’єктів зі збіжними рангами в кожній к – тій групі у j – того експерта;
в – кількість груп об’єктів експертизи зі збіжними рангами у j – того експерта, тобто груп об’єктів з однаковими рангами в рядку j – того експерта;
к = 1, 2, …, в – номер групи об’єктів зі збіжними рангами.
Коефіцієнт W змінюється в межах від 0 до 1. При W = 0 узгоджена точка зору експертів відсутня; при W = 1 існує повна одностайність думок експертів.
Значимість коефіцієнта конкордації перевіряють за критерієм Пірсона:
χр2 = m(n – 1)W.
Якщо розрахункове значення χр2 перевищує табличне значення χт2 для заданого рівня значимості q і кількості ступенів свободи f = n – 1, то з імовірністю Р = 1 – q можна стверджувати, що існує певна узгодженість думок експертів щодо цінності (якості, важливості) тих або інших об’єктів.
Якщо експертами є різні групи спеціалістів (наукові співробітники, заводські фахівці та інші), для оцінки узгодженості думок різних груп розраховують коефіцієнти конкордації для цих груп.
Для оцінки ступеня зв’язку середніх ранжировок різних груп фахівців визначають коефіцієнт парної рангової кореляції Спірмена, який відіграє роль коефіцієнту об’єктивності:
,
де хАі та хВі – нормовані ранги груп експертів А та В щодо і – того об’єкту.
Значимість r перевіряють за критерієм Стьюдента:
.
В разі високого ступеня узгодженості як між окремими експертами, так і між групами їх, сумарну ранжировку можна використовувати для виділення найбільш перспективного об’єкту або декількох об’єктів для подальших поглиблених їх досліджень.
Приклад виконання розрахунків до задачі 4
Група з m = 15 експертів визначала доцільність запровадження на підприємстві кожного з n = 8 запропонованих заходів щодо зменшення рівня шкідливих викидів в атмосферу. До складу групи входили 7 заводських спеціалістів і 8 працівників наукових та проектних організацій. Результати опитування наведені в табл. 6.10. Виділити три найбільш ефективні заходи і визначити надійність цієї експертної оцінки.
Таблиця 6.10 Результати опитування експертів
№ експерта i |
Номер заходу j |
№ експерта i |
Номер заходу j |
||||||||||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
||
1 |
1 |
2 |
5 |
3 |
4 |
6 |
7 |
6 |
9 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
3 |
3 |
2 |
2 |
1 |
1 |
3 |
4 |
2 |
4 |
5 |
3 |
10 |
1 |
4 |
4 |
2 |
3 |
5 |
6 |
4 |
3 |
2 |
3 |
1 |
4 |
5 |
4 |
5 |
3 |
11 |
1 |
3 |
5 |
3 |
2 |
6 |
4 |
5 |
4 |
1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
5 |
2 |
12 |
2 |
4 |
5 |
2 |
1 |
3 |
6 |
2 |
5 |
2 |
3 |
4 |
1 |
5 |
6 |
6 |
1 |
13 |
1 |
3 |
5 |
2 |
4 |
6 |
7 |
3 |
6 |
1 |
2 |
4 |
3 |
5 |
5 |
5 |
4 |
14 |
1 |
2 |
4 |
3 |
5 |
7 |
6 |
2 |
7 |
1 |
2 |
6 |
3 |
5 |
6 |
6 |
4 |
15 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
3 |
2 |
8 |
1 |
3 |
4 |
1 |
2 |
4 |
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Оскільки ранжування виконано в рангах, що збігаються, приводимо матрицю рангів до нормальної ранжировки (табл. 6.11). Для цього об’єктам (заходам) з однаковим рангом приписуємо середні значення місць, які вони поділили, а сума рангів в рядках нормальної матриці складає:
l = 0,5(8+1)8 = 36.
Наприклад,
експерт за номером j = 8 заходам і =1 та і
= 4 віддав 1 ÷ 2 місце, заходам за номерами
і = 3; 6; 8 – місця №№ 5; 6; 7. Тобто маємо в
= 2 групи оцінок зі збіжними рангами, у
перший з них nj
= 2 оцінки, у другій –nj
= 3. Відповідно, в таблицю нормальної
ранжировки до рядку j = 8 і стовпчиків і
= 1; 4 заносимо значення
, а до стовпчиків і = 3; 6; 8 -
= 6.
З урахуванням кількості груп зі збіжними рангами і числа однакових оцінок у кожній з них знаходимо розрахункові параметри Nj для кожного j – того експерта. Наприклад, в оцінці другого експерта кількість збіжних рангів складає (2 + 2 + 2). Величина N2 = (23 – 2) + (23 – 2) + (23 – 2) = 18.
До табл. 6.11 заносимо також сумарні оцінки кожного з заходів σі ; наприклад, для першого заходу:
σ1
=
=
1+1,5+2+1,5+3+1+1+1,5+1,5+1+1+3+1+1+2,5 = 23,5.
Середня оцінка заходів:
.
Таблиця 6.11 Матриця нормальної ранжировки
№№ |
Номери заходів |
в |
Nj |
|||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|||
1 |
1 |
2 |
5 |
3 |
4 |
6,5 |
8 |
6,5 |
2 |
6 |
2 |
1,5 |
1,5 |
4,5 |
6,5 |
3 |
6,5 |
8 |
4,5 |
2+2+2 |
18 |
3 |
2 |
3,5 |
1 |
5,5 |
7,5 |
5,5 |
7,5 |
3,5 |
2+2+2 |
18 |
4 |
1,5 |
1,5 |
3,5 |
5 |
6 |
8 |
7 |
3,5 |
2+2 |
12 |
5 |
3 |
4 |
5 |
1,5 |
6 |
7,5 |
7,5 |
1,5 |
2+2 |
12 |
6 |
1 |
2 |
4,5 |
3 |
7 |
7 |
7 |
4,5 |
2+3 |
30 |
7 |
1 |
2 |
7 |
3 |
5 |
7 |
7 |
4 |
3 |
24 |
8 |
1,5 |
4 |
6 |
1,5 |
3 |
6 |
8 |
6 |
2+3 |
30 |
9 |
1,5 |
1,5 |
4,5 |
4,5 |
4,5 |
7,5 |
7,5 |
4,5 |
2+4+2 |
72 |
10 |
1 |
5 |
5 |
2 |
3 |
7 |
8 |
5 |
3 |
24 |
11 |
1 |
3,5 |
6,5 |
3,5 |
2 |
8 |
5 |
6,5 |
2+2 |
12 |
12 |
3 |
6 |
7 |
3 |
1 |
5 |
8 |
3 |
3 |
24 |
13 |
1 |
3,5 |
6 |
2 |
5 |
7 |
8 |
3,5 |
2 |
6 |
14 |
1 |
2,5 |
5 |
4 |
6 |
8 |
7 |
2,5 |
2 |
6 |
15 |
2,5 |
2,5 |
2,5 |
2,5 |
6 |
6 |
8 |
6 |
4+3 |
84 |
σі |
23,5 |
45 |
72 |
50,5 |
69 |
102,5 |
115,5 |
65 |
|
|
di |
- 44 |
-22,5 |
5,5 |
-17 |
1,5 |
35 |
44 |
-2,5 |
||
di2 |
1936 |
508,2 |
30,25 |
289 |
2,25 |
1225 |
1936 |
6,25 |
||
;
За результатами
розрахунків відхилень від середньої
оцінки di
= σi
-
,
їх квадратів di2
визначаємо величини
;
,
які наведені в табл. 6.11.
Коефіцієнт конкордації:
.
Розрахункове значення критерію Пірсона:
χр2 = m(n – 1)W = 15(8 – 1)0,65 = 68,25.
Табличне значення χт2 для рівня значимості q = 0,05 і кількості ступенів свободи f = n – 1 = 8 – 1 =7 складає 14,067 (додаток В). Тому з імовірністю 95% можна стверджувати, що існує певна узгодженість думок експертів щодо важливості кожного з запропонованих заходів.
Оцінимо ступінь узгодженості думок спеціалістів першої групи ( рядки №№ 1 ÷ 7 матриці) та другої (рядки №№ 8 ÷ 15). Для цього за відповідними рядками перетвореної матриці рангів визначаємо сумарні оцінки кожного з заходів по групах σіІ та σіІІ і будуємо нормовану матрицю рангів хіІ та хіІІ (табл. 6.12).
Таблиця 6.12 Нормована матриця рангів по групах
Група |
Параметр |
Заходи |
|||||||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
||
І |
ΣіІ |
11 |
16,5 |
30,5 |
27,5 |
38,5 |
48 |
52 |
28 |
хіІ |
1 |
2 |
5 |
3 |
6 |
7 |
8 |
4 |
|
І І |
σіІІ |
12,5 |
28,5 |
42,5 |
23 |
30,5 |
54,5 |
59,5 |
37 |
хіІІ |
1 |
3 |
6 |
2 |
4 |
7 |
8 |
5 |
|
dі = хіІ - хіІІ |
0 |
-1 |
-1 |
1 |
2 |
0 |
0 |
-1 |
|
dі2 |
0 |
1 |
1 |
1 |
4 |
0 |
0 |
1 |
|
Коефіцієнт парної рангової кореляції між групами і значення критерію Стьюдента для нього:
;
.
Отримане значення t – критерію перевищує табличне tт = 2,45 для f = 8 – 2 = 6 і q =0,05 (додаток Б), звідки можна з імовірністю 95% стверджувати, що є достатньо тісний кореляційний зв’язок між ранжуваннями першої та другої груп спеціалістів.
Висока ступінь узгодженості між окремими спеціалістами і між групами їх дозволяє обгрунтовано відібрати за сумарною нормальною ранжировкою три найбільш ефективні заходи (№№ 1, 2, 4), які набрали найменшу сумарну кількість балів. Ці заходи можуть бути рекомендовані для подальшої детальної технічної проробки.