4.3. Язык моделей
Языком моделей могут являться следующие формы: словесное описание - наиболее простой и неформальный способ описания модели. Он легко доступен для понимания, однако неоднозначен и имеет ограниченное применение; графическое представление в виде кривых, номограмм, чертежей, схем технологических процессов и т.п. Применяется главным образом в качестве дополнений, иллюстраций к другим способам описания моделей;
блок-схемы, матрицы решений - один из наиболее распространенных способов описания моделей, особенно их структурной или логической части. Используются, как правило, на промежуточном этапе создания моделей между ее словесным и математическим описанием;
математическое описание - описание модели в виде формул и физических операций над переменными. Сюда же относится и алгоритмическое описание, которое может использоваться для предоставления модели системы, не имеющей аналитического описания, либо в случае, когда аналитический способ решения задач слишком сложен, либо для подготовки аналитического описания модели для программирования на ЭВМ. Словесное описание и математическое описание очень близки друг к другу. Оба являются абстрактным описанием реальных систем. Математическое описание более упорядоченно, более „точно". Под точностью подразумевается „конкретность", „четкость", „отсутствие расплывчатости";
программное описание - пригодно непосредственно для ввода в вычислительную машину. Оно может представляться как непосредственно в кодах машины, так и в одном из алгоритмических языков. В последнем случае алгоритмическая форма математического описания и программное описание могут совпадать.
4.4. Абстрактные модели
4.4.1. Аналитические модели
Термин „математическая модель" обозначает любые математические взаимосвязи между входом и выходом применительно к какой-либо части системы либо системы в целом. Если в технике модели используются для проектирования новых систем, то в экономике они применяются для объяснения и прогнозирования уже существующих систем.
Абстрактная модель транспортной системы должна способствовать пониманию последней. Использование модели предполагает, что известны частные характеристики системы, которые находятся во взаимодействии и влияют на поведение системы. Модель должна выражать сущность системы, т.е. каким образом изменения образа действия системы или структуры системы приводят к улучшению или ухудшению ее поведения. На модель возлагается задача выявления различных видов внешних возмущений, к которым система чувствительна. Она должна служить руководством в деле повышения эффективности управления.
Одним из первых шагов при разработке модели должно быть определение того, какие фактические данные следует собирать. Однако, прежде чем приступить к сбору данных, необходимо ответить на некоторые вопросы: Каково относительное значение вводимых переменных? Насколько точной должна быть необходимая информация? Какими будут последствия использования ошибочных данных?
Математическая модель не обязательно более „правильна", чем словесная, если под правильностью понимать степень соответствия реальному положению вещей. Ценность математической модели во многом связана с ее „точностью", а не с ее „правильностью". Само построение математической модели требует конкретного определения того, что именно имеется в виду.
Модель должна иметь структуру, т.е. определенный порядок внутренних взаимосвязей. Допущения относительно структуры должны быть сделаны раньше, чем сбор данных о реальной системе. Необходимо иметь в виду, что принятые допущения представляют собой определенный риск.
Разработанную модель можно использовать для изучения различных допущений, на которых она построена. Для каждого числового значения, по необходимости принятого произвольно, существуют известные пределы, между которыми лежит истинное значение величины. Если модель нечувствительна к изменениям значений в этих пределах, то в этом случае нецелесообразно уточнять принятую приблизительную оценку. Математическая модель должна основываться на самой достоверной информации.
По способу описания моделирующих процессов абстрактные модели можно разделить на два класса - аналитические и алгоритмические. В аналитических моделях производственные процессы описываются системами алгебраических и дифференциальных уравнений и системой ограничений на переменные. Результатами моделирования является решение этих систем уравнений, связывающих в явном виде входные и выходные величины. До появления ЭВМ аналитические модели были единственно возможной эффективной формой математического моделирования.
Аналитические модели весьма наглядны, удобны в использовании, их математическая структура и результаты анализа поддаются анализу. К их недостатку следует отнести то, что строгая математическая схема не может с достаточной полнотой и достоверностью отражать реальные процессы, связи и отношения, присущие транспортным системам.
Алгоритмические модели стали находить применение с появлением ЭВМ. К их преимуществу, по сравнению с аналитическими моделями, относится то, что они дают возможность отражать реальные процессы с необходимой степенью подробности. Они представляют собой алгоритмически заданную функцию многих переменных исходных данных. Алгоритм вычислений этой функции, выполняемый ЭВМ, строится на сочетании традиционных математических форм описания производственных процессов с логическими процедурами, отражающими закономерности, факторы и условия, свойственные реальным процессам.
Аналитические модели формируются путем обработки экспериментальных данных или данных наблюдения за определенный отрезок времени. Математическая функция, описывающая наблюдаемый процесс, обычно определяется путем минимизации суммы квадратов отклонений между реально измеренными значениями процесса и его значениями, определяемые аналитической функцией. В качестве математической формы записи служит многочлен n-й степени:
где у — значение результативного параметра; х — значение факторного признака; a0, a1, a2 - параметры уравнения.
Наряду с этой зависимостью могут использоваться и другие типы функций, приведенные на рис. 4.2. Тип выбираемой функции и степень многочлена определяются качественными характеристиками объекта исследования. Иногда для определения типа функции зависимости исследуемых параметров необходимо определить несколько различных функций (многочлен второй степени, экспонента и т.д.). Та, из них, которая приведет к наименьшей сумме квадратов отклонений,
принимается далее для моделирования.
Для определения коэффициентов аппроксимирующего многочлена пользуются системой линейных уравнений вида:
(4.10)
Если в модели используются модифицированные экспоненциальные функции, которые записываются в общем случае в виде:
(4.11)
то
,
и
Рис. 4.2. Элементарные функции, используемые при моделировании транспортных процессов и систем.
или экспоненциальные функции вида
(4.12)
то для определения значений коэффициентов используется логарифмическая форма:
(4.13)
в которой эта зависимость становится линейной.
Если на зависимую переменную оказывают влияние несколько факторов, то математическая модель будет иметь вид:
(4.14)
где х1, х2 – значение факторных признаков.
Пример 1.
Статическая линейная балансовая модель. Модель межотраслевых связей основывается на делении народного хозяйства на отрасли и районы, которые называются в общем случае секторами (табл. 4.1). Общая модель межотраслевых связей разработана Леонтьевым. В этой модели считается, что народное хозяйство состоит из производящих секторов и одного сектора конечного потребления. Продукция каждого производящего направляется в общем случае в другие производящие секторы, где она используется в процессе производственного потребления в качестве сырья, материалов, полуфабрикатов, комплектующих изделий, а также в сектор конечного или непроизводственного потребления. В матричной форме модель межотраслевых связей имеет вид:
Таблица 4.1. Модель межотраслевых связей
Поставляющие секторы (выпуск продукции) |
Принимающие секторы (производственное потребление) |
Конечное потребление |
Валовый выпуск |
|||
1 |
2 |
3...e |
... |
|||
1 2 … K ... q |
x11 x21 ... xk1 ... xq1 |
x12 x22 ... xk2 ... xq2 |
x13...1e x23...2e ... xk3...ke ... xq3...qe |
...x1q ...x2q ... ...xkq ... xqq |
y1 y2 ... yk ... yq |
x1 x2 ... xk ... xq |
Примечание. хКе — поток товаров из сектора к в сектор е; ук — конечное потребление товара, производимого поставляющим сектором; хк — полный (валовый) выпуск товаров (продукции поставляющего сектора).
Величины хке, ук и хк могут быть представлены либо стоимостными, либо натуральными.
Необходимо, чтобы:
(4.15)
Пример 2. Межотраслевая межрайонная балансовая модель. Для планирования
перевозок грузов необходимо, чтобы производство и потребление грузов были определены в территориальном разрезе. Основными элементами межрайонной межотраслевой модели являются районные и отраслевые определенные потоки грузов хijKe — объем потока продукции, отправляемого из транспортного района i (начало транспортного потока) в транспортный район j (конец транспортного потока), произведенный в экономическом секторе (отрасли) к, потребляемый в экономическом секторе е. Валовый выпуск xK сектора к в межрайонной модели разделяется на р транспортных районов. Вместо величины хк в этой модели появляются районно-отраслевые величины xik (валовый выпуск отрасли к в транспортном районе i). Вместо значений ук появляются значения уijK. Система уравнений записывается в виде:
(4.16)
Учет территориального деления ведет к существенному увеличению размерности задачи.
Пример 3. Модель межрайонного баланса. Исходным базисом для построения межрайонного баланса являются межотраслевые межрайонные потоки xijKe поставки в сектор конечного потребления продукции, произведенной в транспортном районе уiK, и валовый выпуск продукции каждой отраслью в транспортном районе XiK. В соответствии с этим элементы модели межрайонного баланса определяются:
межрайонные потоки всех грузов — для производственного потребления
(4.17)
межрайонные поставки продукции для конечного потребления
(4.18)
валовый выпуск продукции в каждом транспортном районе
(4.19)
объем выпуска в каждом районе продукции для конечного потребления
(4.20)
Модель межрайонного баланса имеет вид:
(4.21)
Пример 4. Линейные модели оптимизации. Оптимизационная задача формулируется в одной из двух постановок:
при заданных затратах средств находится максимально возможная степень реализации поставленной цели. В этом случае в основу оптимизации заложен экономический „принцип наибольшего эффекта";
заданная цель достигается с минимальными затратами средств. Чтобы выбираемые решения имели экономический смысл, они должны удовлетворять следующим требованиям:
при постановке задачи на максимум эффекта необходимо учитывать ограниченность ресурсов, выделяемых для организации рассматриваемого перевозочного процесса;
при постановке задачи на минимум затрат должно быть обеспечено выполнение заданий по выпуску продукции (услуг) каждого вида;
искомые интенсивности процессов по существу своему не могут быть отрицательными.
В математической модели цель оптимизации описывается целевой функцией, а обязательные требования, предъявляемые к искомым решениям, — системой ограничений.
Математическая модель имеет вид:
целевая функция:
(4.22)
или в сокращенном виде
(4.23)
Ограничения:
(4.24)
или в сокращенном виде
(4.25)
Условия неотрицательности
(4.26)
или сокращенно
(4.27)