Параллельное соединение индуктивно- связанных элементов. Согласное включение.

Согласно законам Кирхгофа:

В комплексной форме:

Решение системы уравнений:

- входное комплексное сопротивление при согласном включении индуктивно-связанных катушек.

Если , тогда

2. Встречное включение катушек. Одноименные зажимы присоединены к разным узлам.

Согласно законам Кирхгофа имеем:

Решение системы уравнений, позволяет определить токи:

- входное комплексное сопротивление при встречном включении индуктивно-связанных катушек.

Оба случая можно объединить:

, знак плюс соответствует встречному включению катушек, знак «минус» соответствует согласному включению катушек.

Анализ электрических цепей с индуктивно- связанными элементами. При расчете электрических цепей с индуктивно-связанными элементами обычно используют законы Кирхгофа и метод контурных токов. Остальные методы не пригодны. Не пригодны преобразования треугольника в звезду.

Рассмотрим применение законов Кирхгофа.

Направление обхода контура выберем по часовой стрелке. Запишем уравнения для мгновенных значений:

Слагаемое входит в уравнение со знаком плюс, так как ток и ток входят в одноименные зажимы магнитносвязанных катушек, т.е. имеет место согласное включение. Падение напряжения на первой катушке

В комплексной форме:

Имеем систему уравнений из трех уравнений с тремя неизвестными. Решение которой, позволяет найти токи в ветвях электрической цепи.

Основная литература: 1[73 - 76]; 2[71 – 74, 76 - 82]; 1 [105 – 112, 82 - 88, 113-119]; 2[81 -86, 92 - 100]; 2 [105 – 122, 127 - 129].

Дополнительная литература: 9[119 -123, 127 - 128]; 9 [133 -144]; 9 [175 - 189]; 9 [189 - 202].

Контрольные вопросы:

1. Соотношения между амплитудами и начальными фазами синусоидальных токов и напряжений при последовательном соединении R, L, C элементов.

2. Векторная диаграмма при емкостном, индуктивном характере цепи.

3. Комплексное сопротивление цепи. Полное сопротивление. Реактивное сопротивление.

4. Комплексная проводимость при параллельном соединении R, L, C элементов.

5. Цель введения метода комплексных амплитуд (символического) метода.

6. Особенности методов расчета цепей синусоидального тока.

7. Последовательность расчета методом комплексных амплитуд.

8. Активная и реактивная мощности в цепи синусоидального тока.

9. Комплексная, полная мощности в цепи синусоидального тока. Треугольник мощностей.

10. Коэффициент мощности и пути его повышения.

11. Условия возникновения резонанса напряжений.

11. Векторная диаграмма цепи в момент резонанса.

12. Добротность контура. Применение явления резонанса.

13. Условия возникновения резонанса тока.

14. Полоса пропускания контура и ее связь с добротностью контура.

15. Входное эквивалентное комплексное сопротивление при последовательном включении индуктивно- связанных элементов.

15. Входное эквивалентное комплексное сопротивление при параллельном включении индуктивно- связанных элементов.

16. Векторная диаграмма.

17. Применение законов Кирхгофа для расчета электрических цепей с индуктивно-связанными элементами.

18. Применение метода контурных токов для расчета электрических цепей с индуктивно- связанными элементами.

Лекция 8. Трехфазные цепи. Многофазные цепи. Понятие о трехфазных источниках э.д.с. и тока. Основные положения и соотношения. Методы анализа трехфазных цепей в симметричных несимметричных режимах. Измерение мощности в трехфазных цепях.

   Трехфазная  цепь  является совокупностью трех электрических цепей, в которых действуют синусоидальные ЭДС одинаковой частоты, сдвинутые относительно друг друга по фазе на 120^o, создаваемые общим источником. Участок трехфазной системы, по которому протекает одинаковый ток, называется фазой.

   Трехфазная цепь состоит из трехфазного генератора, соединительных проводов и приемников или нагрузки, которые могут быть однофазными или трехфазными.

     Трехфазный генератор представляет собой синхронную машину. На статоре генератора размещена обмотка, состоящая из трех частей или фаз, пространственно смещенных относительно друг друга на 120^o. В фазах генератора индуктируется симметричная трехфазная система ЭДС, в которой электродвижущие силы одинаковы по амплитуде и различаются по фазе на 120^o. Запишем мгновенные значения и комплексы действующих значений ЭДС.

     Сумма электродвижущих сил симметричной трехфазной системы в любой момент времени равна нулю.

       Соответственно                

     На схемах трехфазных цепей начала фаз обозначают первыми буквами латинского алфавита ( А, В, С ), а концы - последними буквами ( X, Y, Z ). Направления ЭДС указывают от конца фазы обмотки генератора к ее началу.      Каждая фаза нагрузки соединяется с фазой генератора двумя проводами: прямым и обратным. Получается несвязанная трехфазная система, в которой имеется шесть соединительных проводов. Чтобы уменьшить количество соединительных проводов, используют трехфазные цепи, соединенные звездой или треугольником. Соединение в звезду.

     Если концы всех фаз генератора соединить в общий узел, а начала фаз соединить с нагрузкой, образующей трехлучевую звезду сопротивлений, получится трехфазная цепь, соединенная звездой. При этом три обратных провода сливаются в один, называемый нулевым или нейтральным. Трехфазная цепь, соединенная звездой, изображена на рис. 8. 1.

Рис. 8.1

     Провода, идущие от источника к нагрузке называют линейными проводами, провод, соединяющий нейтральные точки источника N_и приемника N' называют нейтральным (нулевым) проводом.     Напряжения  между началами фаз  или между линейными проводами называют линейными напряжениями. Напряжения между началом и концом фазы или между линейным и нейтральным проводами называются фазными напряжениями.       Токи в фазах приемника или источника называют фазными токами, токи в линейных проводах - линейными токами. Так как линейные провода соединены последовательно с фазами источника и приемника, линейные токи при соединении звездой являются одновременно фазными токами.

I_л = I_ф

Z_N - сопротивление нейтрального провода.

     Линейные напряжения равны геометрическим разностям соответствующих фазных напряжений

     (8.1)

     На рис. 8.2 изображена векторная диаграмма фазных и линейных напряжений симметричного источника.

Рис. 8.2

       Из векторной диаграммы видно, что

       При симметричной системе ЭДС источника линейное напряжение больше фазного в √3 раз.

U_л = √3 U_ф

Соединение в треугольник.

       Если конец каждой фазы обмотки генератора соединить с началом следующей фазы, образуется соединение в треугольник. К точкам соединений обмоток подключают три линейных провода, ведущие к нагрузке.         На рис. 8.3 изображена трехфазная цепь, соединенная треугольником. Как видно из рис. 8.3, в трехфазной цепи, соединенной треугольником, фазные и линейные напряжения одинаковы.

U_л = U_ф

       I_A, I_B, I_C - линейные токи;

       I_ab, I_bc, I_ca- фазные токи.

       Линейные и фазные токи нагрузки связаны между собой первым законом Кирхгофа для узлов а, b, с.

Рис. 8.3

       Линейный ток равен геометрической разности соответствующих фазных токов.     На рис. 8.4  изображена  векторная  диаграмма трехфазной цепи, соединенной треугольником при симметричной нагрузке. Нагрузка является симметричной, если сопротивления фаз одинаковы. Векторы фазных токов совпадают по направлению с векторами соответствующих фазных напряжений, так как нагрузка состоит из активных сопротивлений.

Рис. 8.4

       Из векторной диаграммы видно, что

,

I_л = √3 I_ф при симметричной нагрузке.

     Трехфазные цепи, соединенные звездой, получили большее распространение, чем трехфазные цепи, соединенные треугольником. Это объясняется тем, что, во-первых, в цепи, соединенной звездой, можно получить два напряжения: линейное и фазное. Во-вторых, если фазы обмотки электрической машины, соединенной треугольником, находятся в неодинаковых условиях, в обмотке появляются дополнительные токи, нагружающие ее. Такие токи отсутствуют в фазах электрической машины, соединенных по схеме "звезда". Поэтому на практике избегают соединять обмотки трехфазных электрических машин в треугольник.

Расчет трехфазной цепи, соединенной звездой

        Трехфазную цепь,   соединенную звездой, удобнее всего рассчитать методом двух узлов.        На рис. 8.5 изображена трехфазная цепь при соединении звездой. В общем случае сопротивления фаз нагрузки неодинаковы (Z_A ≠ Z_B ≠ Z_C )

     

Рис.8.5

  Нейтральный провод имеет конечное сопротивление Z_N .        В схеме между нейтральными точками источника и нагрузки возникает узловое напряжение или напряжение смещения нейтрали.        Это напряжение определяется по формуле (8.2).                       (8.2)

       Фазные токи определяются по формулам (в соответствии с законом Ома для активной ветви):

     (8.3)

       

Ток в нейтральном проводе

           (8.4)

       

Частные случаи.     1. Симметричная нагрузка.   Сопротивления фаз нагрузки   одинаковы и равны некоторому активному сопротивлению Z_A = Z_B = Z_C = R.        Узловое напряжение

,

потому что трехфазная система ЭДС симметрична,  

 

.

        Напряжения фаз нагрузки и генератора одинаковы:

     Фазные токи  одинаковы по  величине и совпадают по фазе со своими фазными напряжениями. Ток в нейтральном проводе отсутствует

       В трехфазной системе, соединенной звездой, при симметричной нагрузке нейтральный провод не нужен.

      На рис. 8.6 изображена векторная диаграмма трехфазной цепи для симметричной нагрузки.        2. Нагрузка несимметричная,   R_A< R_B = R_C, но сопротивление нейтрального провода равно нулю:  Z_N = 0. Напряжение смещения нейтрали

рис. 8.6

       Фазные напряжения нагрузки и генератора одинаковы

       Фазные токи определяются по формулам

      Вектор тока в нейтральном проводе равен геометрической сумме векторов фазных токов.

     

Рис. 8.7

 На  рис.  8.7  приведена  векторная  диаграмма    трехфазной    цепи,    соединенной    звездой,    с нейтральным    проводом,    имеющим     нулевое     сопротивление,    нагрузкой   которой      являются   неодинаковые   по    величине    активные  сопротивления.        3. Нагрузка несимметричная, R_A< R_B = R_C, нейтральный провод отсутствует,

       В схеме появляется напряжение смещения нейтрали, вычисляемое по формуле:

      Система фазных напряжений генератора остается симметричной. Это объясняется тем, что источник трехфазных ЭДС имеет практически бесконечно большую мощность. Несимметрия нагрузки не влияет на систему напряжений генератора.     Из-за напряжения  смещения нейтрали фазные  напряжения нагрузки становятся неодинаковыми.       Фазные напряжения генератора и нагрузки отличаются друг от друга. При отсутствии нейтрального провода геометрическая сумма фазных токов равна нулю.

     

Рис. 8.8

 

На рис. 8.8 изображена векторная диаграмма трехфазной цепи с несимметричной нагрузкой и оборванным нейтральным проводом. Векторы фазных токов совпадают по направлению с векторами соответствующих фазных напряжений нагрузки. Нейтральный провод с нулевым сопротивлением в схеме с несимметричной нагрузкой выравнивает несимметрию фазных напряжений нагрузки, т.е. с включением данного нейтрального провода фазные напряжения нагрузки становятся одинаковыми.

Мощность в трехфазных цепях.

     Трехфазная цепь является обычной цепью синусоидального тока с несколькими источниками.         Активная мощность трехфазной цепи равна сумме активных мощностей фаз

   (8.5)

       Формула (8.5) используется для расчета активной мощности в трехфазной цепи при несимметричной нагрузке.         При симметричной нагрузке:

        При соединении в треугольник симметричной нагрузки

       При соединении в звезду

.

       В обоих случаях

.

Контрольные вопросы:

1. Что представляет собой трехфазная цепь?

2. Составные части трехфазной цепи.

3. Запишите мгновенные значения и комплексы действующих значений ЭДС в трехфазной цепи.

4. В чем отличие симметричной и несимметричной трехфазных систем?

5. Каковы особенности трехфазной цепи при соединении концов всех фаз генератора в звезду?

6. Каковы особенности трехфазной цепи при соединении фаз генератора в треугольник?

7. Каковы особенности трехфазной цепи при соединении потребителей энергии в звезду?

8. Роль нейтрального провода.

9. Каковы особенности трехфазной цепи при соединении потребителей энергии в треугольник?

10. Порядок расчета трехфазной цепи, соединенной звездой при симметричной и несимметричной нагрузках.

11. Порядок расчета трехфазной цепи, соединенной треугольником при симметричной и несимметричной нагрузках.

12. Как определяется мощность трехфазной цепи.

Лекция 9. Разложение периодической негармонической функции в ряд Фурье. Комплексная форма ряда Фурье. Спектры периодических негармонических сигналов. Расчет электрических цепей с периодическими негармоническими воздействиями.

Задача анализа ЭЦ с несинусодальными периодическими э.д.с. упрощается, если эту э.д.с. разложить в тригонометрический ряд Фурье:

где: - частота основной гармоники , – номер гармоники – основная гармоника;

– постоянная составляющая, нулевая гармоника;

– коэффициенты ряда (амплитуды гармоник);

– период несинусоидальной периодической функции.

Среднее значение функции за период представляет собой постоянную составляющую ряда Фурье:

- постоянная составляющая,

– коэффициенты косинусной составляющей ряда Фурье,

– коэффициенты синусной составляющей ряда Фурье.

Если ввести независимую переменную , то ряд Фурье можно представить в следующей форме:

,

, ; ,

_– начальная фаза к-ой гармоники, – амплитуда к-ой гармоники, находится с учетом знака и .

Ряд Фурье теоретически содержит бесконечное число членов, но на практике обычно необходимо ограничиться конечным числом членов ряда Фурье. Максимальную амплитуду имеет основная гармоника, с увеличением номера гармоники их амплитуда уменьшается. Ряд Фурье в комплексной форме:

, где - комплексный коэфициент ряда Фурье.

- коэффициенты ряда Фурье.

- комплексный частотный спектр . Составляющие - называется амплитудным спектром, а - фазовым спектром. Изображают графически в виде пропорциональных их значениям отрезков вертикальных линий в точках . Периодические функции времени имеют дискретный или линейчатый спектр.

Основные величины, характеризующие периодическую несинусоидальную функцию.

Периодически изменяющаяся неинусоидальная величина характеризуется тремя величинами:

1) максимальным значением за период;

2) действующим значением (среднеквадратичным значением за период);

3) средним по модулю значением.

Если несинусоидальная периодический изменяющаяся величина разложена в тригонометрический ряд Фурье

,

то действующее значение:

Действующее значение периодической несиусоидальной функции равно корню квадратному из суммы квадратов действующих значений гармоник и квадрата постоянной слагающей.

Среднее значение по модулю определяется:

Иногда для характеристики формы кривых токов (напряжений) пользуются следующими коэффициентами :

1. коэффициент формы – определяется как отношение действующего значения функции к среднему по модулю значению:

,

2. коэффициент амплитуды – отношение максимального значения функции к её действующему значению:

,

3. коэффициент искажения – отношение действующего значения основной гармоники к действующему значению

.

Анализ электрических цепей с несинусоидальными периодическими э.д.с. и токами.

Если в линейной цепи действует источник несинусоидальной периодической э.д.с. или тока, то расчет такой цепи необходимо производить методом наложения в следующем порядке:

1. Заданную несинусоидальную периодическую э.д.с. раскладывают в ряд Фурье:

Источник несинусоидальной э.д.с. и тока можно рассматривать как последовательное соединение источника постоянного напряжения и источников синусоидального напряжения с различными частотами:

2. Применяя принцип наложения для каждой гармоники э.д.с. в отдельности, производим расчет токов и напряжений любой ветви. Для этого каждую гармонику э.д.с. записывают в комплексной форме:

Для каждой гармоники э.д.с. цепь следует представить в виде эквивалентной схемы. Расчет токов и напряжений для каждой гармоники проводят любым методом. В каждой схеме токи и напряжения имеют ту же частоту что и активные элементы (источник э.д.с. и тока).

3. Мгновенное значение негармоничного тока получают, суммируя мгновенные значения всех гармонических составляющих токов

При решении задачи необходимо учитывать, что для различных частот индуктивные и емкостные сопротивления неодинаковы. Индуктивное сопротивление для -й гармоники в раз больше, а емкостное в раз меньше, чем для первой гармоники:

Мощность в цепи с периодическими несинусоидальными токами

Активная мощность периодического тока произвольной формы определяется как средняя мощность за период: .

Выразим мгновенные значения напряжения и тока в виде тригонометрического ряда и с учетом свойства ортогональности тригонометрических функций получим:

Активная мощность несинусоидального тока равна сумме активных мощностей всех гармоник. Полная мощность - определяется как произведение действующих значений тока и напряжения:

.

Реактивная мощность определяется как сумма реактивных мощностей всех гармоник:

.

Для несинусоидальных токов в отличие от синусоидальных:

.

Мощность искажения:

Если сопротивление цепи активное, то кривые напряжения и тока подобны, при этом

Основная литература: 1 [131 – 143]; 2 [200 – 207, 211 - 218].

Дополнительная литература: 9 [297 - 323].

Контрольные вопросы:

1. Разложение в ряд Фурье четной периодической функции.

2. Основные параметры, характеризующие несинусоидальную периодическую функцию.

3. Порядок расчета электрических цепей с несинусоидальными напряжениями и токами.

4. Активная, реактивная и полная мощности.

5. Мощность искажения.

Лекция 10. Переходные процессы в линейных электрических цепях. Понятие о переходных процессах. Сущность переходного процесса. Классический метод расчета переходных процессов. Переходные процессы в цепях первого порядка. Переходные процессы в цепях второго порядка. Переходные процессы в сложных разветвленных цепях.

Переходным процессом называется процесс перехода от одного энергетического состояния электрической цепи к другому, чем-либо отличающегося от предыдущего. Переходные процессы возникают под действием коммутации. В основе методов расчета переходных процессов лежат законы коммутации.

Первый закон коммутации: ток в индуктивности в начальный момент непосредственно после коммутации равен току в индуктивности непосредственно до коммутации и плавно изменяется с этого момента , т.е. ток в индуктивности скачком не изменяется.

Второй закон коммутации: напряжение на конденсаторе в начальный момент непосредственно после коммутации равен напряжению на конденсаторе непосредственно до коммутации и плавно изменяется с этого момента: , т.е. напряжение на конденсаторе скачком не изменяется.

Переходной процесс в цепях первого порядка. Свободный, принужденный процессы.

Включение цепи к источнику постоянной э.д.с.

Пусть цепь, состоящая из последовательного соединения , в момент подключается к источнику постоянной э.д.с. . Уравнения равновесия цепи составляется после коммутации. Уравнение имеет следующий вид:

Уравнение относится к линейным неоднородным дифференциальным уравнениям первого порядка, решение которого дает ток переходного процесса. Решение ищется в виде:

- общее решение однородного дифференциального уравнения: - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Общее решение однородного дифференциального уравнения называется свободной составляющей тока - , а частное решение неоднородного дифференциального уравнения называется принужденной составляющей тока - . С учетом этого: .

Свободная составляющая тока - .

где - постоянная времени цепи, определяется только параметрами цепи.

A – постоянная интегрирования.

Принужденная составляющая тока, обусловлена действием источника постоянной э.д.с.:

Ток переходного процесса определяется следующим соотношением:

Для нахождения постоянной интегрирования А необходимо учесть начальные условия для тока и первый закон коммутации:

Тогда можно записать закон изменения тока в цепи:

Напряжение на индуктивности и резисторе:

Анализ приведенных графиков показывает, что ток в цепи не устанавливается мгновенно и что требуется время до наступления установившегося значения . На практике принято считать, переходной процесс законченным при , при этом ток достигает 95% от своего установившегося значения, за время ток достигает 99% своего установившегося значения.

Включение цепи к источнику постоянной э.д.с. Пусть в момент времени , цепь из последовательно соединенных элементов подключается к источнику постоянной э.д.с. Уравнение равновесия необходимо составить относительно .

Решение ищется в виде .

Свободная составляющая: , где - постоянная времени цепи, А – постоянная интегрирования.

Принужденная составляющая С учетом этого: .

Нахождение постоянной интегрирования А. Постоянная интегрирования находится из начальных условий с учетом второго закона коммутации.

С учетом этого, напряжение не конденсаторе:

Включение цепи RLC к источнику постоянной э.д.с.

Переходной процесс в цепях второго порядка. Методика расчета переходных процессов в цепях выше первого порядка.

П ри наличии двух независимых накопителей энергии переходные процессы в них описываются уравнениями второго порядка. Простейший пример такой цепи – последовательное соединение RLC.

У равнение равновесия цепи по второму закону Кирхгофа после коммутации для

Имеем неоднородное дифференциальное уравнение второй степени относительно , его решение ищется в виде суммы: Свободная составляющая определяется решением однородного дифференциального уравнения второго порядка. Характеристическое уравнение имеет следующий вид:

Введем следующие обозначения: - коэффициент затухание контура,

резонансная частота контура, частота собственных колебаний контура. С учетом этих обозначений имеем:

От вида корней и зависит характер свободного процесса. Возможны три случая:

1. корни характеристического уравнения вещественные и отрицательные: , где

- характеристическое сопротивление контура,

- добротность контура, - процесс апериодический.

Свободный процесс в цепи называется апериодический, свободная составляющая и ищется в следующем виде:

_{2. Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные:}

Свободный процесс в цепи называется колебательным и свободная составляющая ищется в виде:

3. Корни характеристического уравнения вещественные и равные: , .

Свободный процесс в цепи называется критическим, свободная составляющая ищется в виде:

Апериодический процесс в RLC- цепи. Корни характеристического уравнения вещественные и отрицательные:

Постоянные интегрирования и Постоянные интегрирования находятся из начальных условий с учетом законов коммутации.

Рассмотрим ненулевые начальные условия:

Свободная составляющая:

Напряжение и ток переходного процесса на конденсаторе:

.

Если начальные условия нулевые, то

Колебательный процесс в RLC цепи. Корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные:

C учетом этих преобразований имеем:

3. Критический режим

постоянные интегрирования.

Напряжение на конденсаторе:

Ток:

Основная литература: 1[ 143-163 ], 2[234-256].

Дополнительная литература: 9 [327 – 331, 334 -336, 340 – 342, 344 - 359].

Контрольные вопросы:

1. Законы коммутации.

2. Физический и математический смысл свободной составляющей.

3. Физический и математический смысл принужденной составляющей.

4. Постоянная времени цепи.

5. Как определить порядок цепи?

6. Какой процесс называется колебательным?

Лекция 11. Расчет переходных процессов при воздействии э.д.с. произвольной формы.

В операторном методе расчета отпадает необходимость определения постоянных интегрирования по начальным условиям, т.к. начальные условия учитываются при составлении алгебраических уравнений для изображений искомых величин. Этим и объясняется широкое применение этого метода.

Преобразование Лапласа. Сущность операторного метода расчета переходных процессов состоит в том, что функцию вещественной переменной , называемую оригиналом, заменяют функцией комплексной переменной , называемой изображением. Комплексное число называется оператором.

Операторное изображение и оригинал связаны с помощью прямого преобразования Лапласа:

Функция должна удовлетворять условиям Дирихле. Практически все функции, встречающиеся в теории электрических цепей, удовлетворяют условиям Дирихле.

Переход от изображения к оригиналу может осуществляться при помощи обратного преобразования Лапласа:

где - вещественная часть оператора .

Таким образом, в результате преобразований получается пара однозначных соответствий:

Для многих функций такие соответствия найдены и сведены в таблицы.

При применении операторного метода система интегро-дифференциальных уравнений относительно оригиналов заменяется системой алгебраических уравнений относительно их изображений . Таким образом, производится алгебраизация исходной системы дифференциальных уравнений. Отсюда вытекает и очевидное преимущество операторного метода.

В результате решения полученной системы алгебраических уравнений находят изображения искомых электрических величин – токов и напряжений переходного процесса. Затем при помощи обратного преобразования или специальных таблиц соответствия оригиналов и их изображений находятся оригиналы , т.е. искомые функции времени.

Рассмотрим наиболее важные свойства преобразования Лапласа, представляющих интерес для анализа электрических цепей.

Применение преобразования Лапласа к решению линейных интегро-дифференциальных уравнений основано на свойстве линейности и преобразованиях операций дифференцирования и интегрирования во временной области. Свойство линейности записывается следующим образом:

где а – постоянная,

т.е. при умножении оригинала на постоянную величину, изображение также умножается на эту величину, а изображение суммы равно сумме изображений.

Операциям дифференцирования и интегрирования оригиналов (в t-области) соответствуют более простые операции умножения и деления их изображений (в p – области):

где - начальное значение функции, при

Свойства преобразования Лапласа позволили в теории цепей ввести понятие операторных функций (сопротивления и проводимости) и операторных передаточных функций цепи. При этом оказалось возможным составлять схему замещения электрической цепи в операторной форме, а по ней сразу составлять уравнения для изображений, минуя составление интегро-дифференциальных уравнений для оригиналов.

Операторные уравнения для элементов электрической цепи получают из соответствующих уравнений, связывающих мгновенные значения напряжений и токов.

Закон Ома и Кирхгофа в операторной форме.

Запишем закон Ома для мгновенных значений после коммутации:

Перейдем от закона Ома, записанного для мгновенных значений к его выражению в операторной форме.

закон Ома в операторной форме.

- операторное сопротивление участка цепи,

- представляет собой внутреннюю э.д.с., обусловленную запасом энергии в магнитном поле индуктивности, вследствие протекания тока непосредственно до коммутации,

- представляет собой внутреннюю э.д.с., обусловленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора, вследствие наличие напряжения , непосредственно до коммутации.

Если ,

- проводимость в операторной форме.

Законы Кирхгофа: Сумма изображений токов в узле электрической цепи равно нулю.

Для любого замкнутого контура, состоящего из ветвей имеем:

Закон Кирхгофа при нулевых начальных условиях: .

Эквивалентные операторные схемы замещения для элементов электрической цепи.

Наиболее рациональный путь применения преобразования Лапласа для анализа цепи состоит в непосредственном составлении алгебраических уравнений для изображений по операторной или эквивалентной схеме замещения в частотной области. На этой схеме вместо напряжений и токов указаны их изображения, а элементы представляются операторными схемами замещения.

Рассмотрим операторные схемы замещения элементов электрической цепи.

1. Резистивный элемент.

Резистор с сопротивлением R характеризуется уравнением переходя к изображению, получим операторное уравнение:

где или

Резистор характеризуется операторным сопротивлением R или проводимостью G.

2. Индуктивный элемент.

Напряжение и ток в индуктивности связаны соотношением переходя к изображениям, получим операторные уравнения:

, или

где - значение тока в момент времени

Этим выражениям соответствуют операторные эквивалентные схемы индуктивности. Индуктивность характеризуется операторным сопротивлением ( проводимостью ), а начальное значение тока учитывается в виде последовательного источника э.д.с. или параллельного источника тока

Начальный ток в индуктивности учитывается в виде дополнительных источников: источника напряжения , соединенного последовательно с индуктивным элементом и имеющую полярность, совпадающую с направлением начального тока и источника тока , соединенного параллельно индуктивной проводимости и направленного одинаково с начальным током.

3. Емкостной элемент.

Напряжение и ток на емкости связаны соотношением Для изображений получаем:

где - начальное значение напряжения, в момент t=0.

Операторные схемы замещения для емкости:

Начальный заряд на конденсаторе учитывается в виде дополнительных источников: источника тока с током , соединенного параллельного емкостной проводимости и направленного в сторону обкладки, имеющей положительный заряд и источника напряжения с напряжением , соединенного последовательно с емкостным сопротивлением и имеющую полярность, совпадающую с полярностью начального заряда.

Источникам э.д.с. е(t) и тока j(t) соответствуют источники с операторным напряжением и током .

Общая методика анализа переходных процессов операторным методом. Операторный метод анализа переходных процессов можно свести к следующему:

1) составление операторной схемы замещения с учетом начальных условий и по ней составление алгебраических уравнений для изображений по тому или иному методу расчета;

2) решение их относительно изображений искомых реакций;

3) нахождение оригиналов искомых функций по их найденным изображениям.

Расчет сложных электрических цепей операторным методом не всегда можно свести к известным табличным формулам. Использование же обратного преобразования Лапласа для отыскания оригинала по известному изображению может оказаться трудной задачей. В таких случаях используется теорема разложения. Теорема разложения позволяет находить оригиналы по известному изображению.

В теории цепей очень часто операторное изображение искомой функции (тока или напряжения) имеет вид рациональной дроби:

,

где и - многочлены различных степеней p. Причем и числитель и знаменатель не имеют общих корней.

Полюса функции определяются корнями уравнения Нули функции определяются корнями уравнения

1. Пусть все корни уравнения простые.

Тогда переход от изображения к функции времени производят с помощью формулы:

где - корни уравнения

- производная многочлена в точках .

Таким образом,

÷ .

Эта формула называется теоремой разложения.

В частном случае, когда в составе знаменателя есть множитель , т.е. знаменатель имеет один нулевой корень , а в составе уже нет нулевого корня и уравнение имеет различных и не равных нулю корней , то формула разложения примет следующий вид:

÷

Выделенный постоянный член представляет собой принужденную составляющую тока или напряжения.

Если имеет комплексные сопряженные корни, , то

÷

Если есть еще и нулевой корень, то

Лекция 13. Четырехполюсники и фильтры

Четырехполюсники. Основные уравнения четырехполюсников. Экспериментальное определение параметров четырехполюсников. Четырехполюсником называется электрическая цепь, имеющая два входных и два выходных зажима, с помощью которых она может быть присоединена к другим цепям (линии передачи, трансформатор, фильтр, формирующие и корректирующие цепи).

Выводы четырехполюсника, к которым присоединяется источник энергии называется входными, а выводы к которым присоединяется нагрузка – выходными. Четырехполюсник является передаточным звеном между источником и потребителям. Условное изображение четырехполюсника:

1-1¹ – первичная пара зажимов;

2-2¹ – вторичная пара зажимов;

– ток и напряжение на входе;

– ток и напряжение на выходе.

Если четырехполюсник содержит источники электрической энергии, то четырехполюсник является активным, если не содержит источников электрической энергии - четырехполюсник пассивный. По своей структуре четырехполюсники делятся на П, Т, Г – образные, мостовые.

Свойства четырехполюсника определяется коэффициентами или параметрами. Соотношения, связывающие 4 переменные, называются уравнениями четырехполюсника. Известны 6 видов уравнений четырехполюсника, нами рассматриваются 3 вида уравнений четырехполюсника.

Рассмотрим уравнения четырехполюсников. Z-форма, уравнения через параметры – сопротивления:

Коэффициенты при токах называются параметрами сопротивлениями четырехполюсника.

В матричной форме:

Z-параметры четырехполюсника – параметры сопротивления холостого хода. Они определяются из режима холостого хода:

— это входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 1-1¹, при разомкнутых 2-2¹,

— это передаточное сопротивление прямой передачи от входа 1 к входу 2, и представляет собой отношение напряжения на разомкнутых зажимах 2-2¹ к току _.

— входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 2-2¹, при разомкнутых 1-1¹.

— передаточное сопротивление обратной передачи от входа 2 к входу 1, и представляет собой отношение на разомкнутых зажимах 1-1¹ к току .

Если решить данное уравнение относительно токов и , то получим:

Тогда получим уравнение четырехполюсника в У- форме:

У - форма, параметры проводимости короткого замыкания:

;

-входная проводимость четырехполюсника со стороны зажимов 1-1¹ при коротком замыкании. зажимов 2-2¹.

-передаточная проводимость прямой передачи от входа 1 ко входу 2, представляет отношение тока короткого замыкания к напряжению зажима 1-1¹.

-входная проводимость четырехполюсника со стороны зажимов 2-2¹ при коротком замыкании зажимов 1-1¹.

-передаточная проводимость обратной передачи от входа 2 ко входу 1, представляет собой отношение тока короткого замыкания к напряжению зажима 2-2¹.

3. А параметры четырехполюсника (уравнения четырехполюсника в А -форме).

решаем совместные уравнения относительно и :

– безразмерная величина;

– размерность сопротивления;

– размерность проводимости;

– безразмерная величина.

Уравнения в А – форме можно записать в матричной форме:

При обратном питании коэффициенты А и D меняются местами и получается уравнения четырехполюсников в В – форме:

.

Четырехполюсник называется симметричным, если при перемене местами источника питания и нагрузки, токи в источнике питания и нагрузке не меняются. В симметричной четырехполюснике . Если , то четырехполюсник называется взаимным.

Для четырехполюсников, удовлетворяющих условиям взаимности :

Режим четырехполюсника при нагрузке. При расчете режима работы с применением различных типов уравнений принято выбирать положение направления токов неодинаковыми. Положительные направления токов показаны на рисунке.

Для характеристики рабочего режима четырехполюсника часто пользуются понятием входного сопротивления со стороны первичных зажимов 1-1¹, при сопротивлении нагрузки и понятием входного сопротивления со стороны вторичных зажимов 2-2¹, при сопротивлении нагрузки . Отношение напряжения к току при питании четырехполюсника со стороны первичных зажимов и сопротивлении нагрузки со стороны вторичных зажимов, называется входным сопротивлением со стороны первичных выводов: .

Для определения входного сопротивления достаточно:

Отношение напряжения к току при питании четырехполюсника со стороны вторичных зажимов и сопротивлении нагрузки со стороны первичных зажимов называется входным сопротивлением со стороны вторичных выводов .

Аналогично, при обратной передаче:

Входное сопротивление четырехполюсника определяет режим работы источника питания и зависит от структуры и параметров составляющих четырехполюсник элементов, т.е. коэффициентов четырехполюсника, а также от сопротивления нагрузки, т.е. сопротивления приемника. Для определения можно воспользоваться любым из типов уравнений, однако наиболее простые выражения получаются в форме А и В.

В частном случае при отключенном или закороченном приемнике входное сопротивление характеризует только сам четырехполюсник, т.е. зависят только от его коэффициентов.

1. Питание со стороны первичных зажимов, короткое замыкание вторичных зажимов:

короткое замыкание холостой ход

При коротком замыкании:

2. Холостой ход на вторичных выводах:

3. При питании со стороны вторичных зажимов, короткое замыкание первичных зажимов.

короткое замыкание холостой ход

При коротком замыкании

4. Холостой ход вторичных выводов:

При холостом ходе:

Сопротивления короткого замыкания и холостого хода четырехполюсника определяются его коэффициентами.

Уравнения четырехполюсника в А – форме:

обратная передача

Экспериментальное определение параметров четырехполюсников

Комплексные коэффициенты пассивных четырехполюсников определяются опытным путем или расчетом. Для определения А, В, С, D опытным путем достаточно иметь данные двух опытов: холостого хода и короткого замыкания.

1. Опыт холостого хода , питание первичных параметров, 2-2¹ разомкнуты:

-входное сопротивление со стороны первичных зажимов 1-1¹.

2. Опыт короткого замыкания , питание со стороны первичных зажимов, 2-2 – короткое замыкание:

-входное сопротивление со стороны 1-1¹, при коротком замыкании 2- 2¹.

При передаче сигналов связи на расстояние может участвовать большое число каскадно включенных четырехполюсников.

Потери мощности сигнала при этом должны быть минимальными, а мощность сигнала выделяемая в нагрузке на приемном конце должна быть максимально возможной.

Генератор с внутренним сопротивлением Z_г отдает максимальную полную мощность в нагрузку, согласованную с его внутренним сопротивлением

Если между генераторам и нагрузкой находится четырехполюсник, то для передачи максимальной полной мощности от генератора в четырехполюсник необходимо согласовать входное сопротивление четырехполюсника Z_вх1 с внутренним сопротивлением генератора, т.е. выполнить: , а дл я передачи максимально полной мощности от четырехполюсника в нагрузку — согласовать входное сопротивление четырехполюсника Z_вх2 с сопротивлением генератора, т.е. выполнить условие:

Такой режим четырехполюсника, когда называется режимом согласованного включения.

Характеристические параметры : характеристическое сопротивление — Z_C , характеристическая постоянная передача — . Характеристическое сопротивление представляет собой такое комплексное сопротивление, при включении которого в качестве нагрузки входное сопротивление четырехполюсника становится равным: .

Если четырехполюсник несимметричный:

Волновое или характеристическое сопротивление через параметры

Если симметричный А=D:

Вторая характеристика позволяет сравнить напряжения и токи на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке:

— характеризует изменения значения напряжения.

— показывает сдвиг фаз между напряжениями на входе и выходе. Этот угол называется собственной или характеристической постоянной фазы.

Очень удобно отношение напряжений на входе и выходе оценивать постоянной ослабления

Эквивалентные схемы замещения пассивного четырехполюсника

На основании уравнений четырехполюсника могут быть построены различные эквивалентные схемы замещения. На практике чаще всего пользуются Т- образной и П-образной схемами замещения четырехполюсников.

1. Т – образная схема замещения.

Формулы позволяют найти сопротивления при коэффициентах четырехполюсника A, B, C, D.

2. П — образные схемы четырехполюсников.

3. Г — образный фильтр

Зная коэффициенты A, B, C, D можно найти сопротивления:

Линейные пассивные четырехполюсники являются обратными, т.е. для них выполняется принцип взаимности. Отношение напряжения на входе к току на выходе (передаточное сопротивление входного и выходного контуров) не зависит от того, какие выводы являются входными, а какие – выходными Четырехполюсник называется симметричным если его характеристики не меняются при перемене местами входных и выходных выводов: _.

_{Электрические фильтры. Низкочастотные фильтры. Высокочастотные фильтры. Фильтры типа m и k.}

_{Электрические фильтры – это четырехполюсники, которые без искажения пропускают сигналы частоты которых лежат в заданном диапазоне частот (в полосе пропускания) и с большим затуханием сигналы, частоты которых лежат в области задержки.}

_{Фильтр идеальный, если в полосе пропускания отсутствует ослабление сигнала и фаза частотная характеристика линейная, а вне полосы пропускания сигналы на выходе отсутствуют. Идеальный фильтр создать нельзя, но можно получить в полосе пропускания достаточно малое ослабление сигнала, если фильтр создан из конденсатора и катушек с малыми потерями. По полосе пропускания различают фильтры низкочастотные, высокочастотные, полосовые и заграждающие. Полоса пропускания низкочастотного фильтра от 0 до граничной частоты . Высокочастотного от до . Частотная характеристика фильтра коэффициент затухание : .}

_{Коэффициент передачи по напряжению идеального фильтра в полосе пропускания равен 1. Фазочастотная характеристика в полосе пропускания линейная функция. Коэффициент затухания в полосе пропускания равен нулю.}

_{Схема низкочастотного фильтра:}

_{Схема высокочастотного фильтра:}

_{Частота среза фильтра НЧ: Частота среза фильтра ВЧ:}

_{Фильтр НЧ пропускает без затухания частоты от нуля до частоты среза. Фильтр ВЧ пропускает от без затухания от частоты среза до бесконечности.}

Основная литература: 1 [ 169 - 181 , 241-250, 260 – 267] , 2[ 141 – 142, 146 - 150].

Дополнительная литература: 9 [220 - 224].

Контрольные вопросы:

1. Какая электрическая цепь называется четырехполюсником?

2. Что называется активным четырехполюсником?

3. Как экспериментально определить Z параметры четырехполюсника?

4. Из каких опытов определяются Y параметры четырехполюсника?

Лекция 14. Передаточные функции четырехполюсников.

При передаче сигналов связи на расстояние может участвовать большое число каскадно- включенных четырехполюсников.

Потери мощности сигнала при этом должны быть минимальными, а мощность сигнала выделяемая в нагрузке на приемном конце должна быть максимально возможной.

Генератор с внутренним сопротивлением Z_г отдает максимальную полную мощность в нагрузку, согласованную с его внутренним сопротивлением

Если между генераторам и нагрузкой находится четырехполюсник, то для передачи максимальной полной мощности от генератора в четырехполюсник необходимо согласовать входное сопротивление четырехполюсника Z_вх1 с внутренним сопротивлением генератора, т.е. выполнить: , а дл я передачи максимально полной мощности от четырехполюсника в нагрузку — согласовать входное сопротивление четырехполюсника Z_вх2 с сопротивлением генератора, т.е. выполнить условие:

Такой режим четырехполюсника, когда называется режимом согласованного включения.

Характеристические параметры : характеристическое сопротивление — Z_C , характеристическая постоянная передача — . Характеристическое сопротивление представляет собой такое комплексное сопротивление, при включении которого в качестве нагрузки входное сопротивление четырехполюсника становится равным: .

Если четырехполюсник не симметричный:

Волновое или характеристическое сопротивление через параметры

Если симметричный А=D:

Вторая характеристика позволяет сравнить напряжения и токи на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке:

— характеризует изменения значения напряжения.

— показывает сдвиг фаз между напряжениями на входе и выходе. Этот угол называется собственной или характеристической постоянной фазы.

Очень удобно отношение напряжений на входе и выходе оценивать постоянной ослабления

Эквивалентные схемы замещения пассивного четырехполюсника

На основании уравнений четырехполюсника могут быть построены различные эквивалентные схемы замещения. На практике чаще всего пользуются Т- образной и П-образной схемами замещения четырехполюсников.

1. Т – образная схема замещения.

Формулы позволяют найти сопротивления при коэффициентах четырехполюсника A, B, C, D.

2. П — образные схемы четырехполюсников.

3. Г — образный фильтр

Зная коэффициенты A, B, C, D можно найти сопротивления:

Линейные пассивные четырехполюсники являются обратными, т.е. для них выполняется принцип взаимности. Отношение напряжения на входе к току на выходе (передаточное сопротивление входного и выходного контуров) не зависит от того, какие выводы являются входными, а какие – выходными Четырехполюсник называется симметричным если его характеристики не меняются при перемене местами входных и выходных выводов: _.

_{Электрические фильтры. Низкочастотные фильтры. Высокочастотные фильтры. Фильтры типа m и k.}

_{Электрические фильтры – это четырехполюсники, которые без искажения пропускают сигналы частоты которых лежат в заданном диапазоне частот (в полосе пропускания) и с большим затуханием сигналы, частоты которых лежат в области задержки.}

_{Фильтр идеальный, если в полосе пропускания отсутствует ослабление сигнала и фаза частотная характеристика линейная, а вне полосы пропускания сигналы на выходе отсутствуют. Идеальный фильтр создать нельзя, но можно получить в полосе пропускания достаточно малое ослабление сигнала, если фильтр создан из конденсатора и катушек с малыми потерями. По полосе пропускания различают фильтры низкочастотные, высокочастотные, полосовые и заграждающие. Полоса пропускания низкочастотного фильтра от 0 до граничной частоты . Высокочастотного от до . Частотная характеристика фильтра коэффициент затухание : .}

_{Коэффициент передачи по напряжению идеального фильтра в полосе пропускания равен 1. Фазочастотная характеристика в полосе пропускания линейная функция. Коэффициент затухания в полосе пропускания равен нулю.}

_{Схема низкочастотного фильтра:}

_{Схема высокочастотного фильтра:}

_{Частота среза фильтра НЧ: Частота среза фильтра ВЧ:}

_{Фильтр НЧ пропускает без затухания частоты от нуля до частоты среза. Фильтр ВЧ пропускает от без затухания от частоты среза до бесконечности.}

Лекция № 15. Цепи с распределенными параметрами. Характеристики однородной линии. Длина волны и скорость распространения. Режимы работы линии. Условия для неискажающей линии. Линия без потерь. Частотные зависимости. Стоячие волны.

До сих пор мы рассматривали электрические цепи с сосредоточенными параметрами, предполагалось, что параметры электрической цепи сосредоточенны в различных ее точках.

Однако, рассматривая электромагнитные процессы, происходящие в электрических линиях, где происходит передача электроэнергии на расстояние, необходимо иметь в виду, что магнитное и электрическое поле распределены по всей длине линии и превращение электромагнитной энергии в тепло также происходит по всей длине линии. Здесь мы имеем дело с цепями с распределенными параметрами.

В качестве цепи с распределенными параметрами рассматривается однородная двухпроводная линия.

Однородная двухпроводная линия – это такая линия, индуктивность, емкость, активное сопротивление и проводимость которой равномерно распределены вдоль всей длины линии. Эти электрические параметры, отнесенные к единице длины линии, называются первичными параметрами линии; они обозначаются Однородная двухпроводная линия является очень распространенным типом линии.

Уравнения однородной линии. Напряжение и ток в линии являются функциями двух независимых переменных – времени и координаты . Однородную линию можно рассматривать в виде соединенных множества бесконечно малых элементов длиной . Каждый из которых имеет сопротивление индуктивность , проводимость , емкость , где

- сопротивление прямого и обратного провода

- индуктивности петли, образуемой прямым и обратным проводом,

- проводимость утечки между проводами,

- емкость между проводами.

- напряжение между верхним и нижним проводами в точке х,

- приращение напряжения на участке ,

- ток в точке х,

- приращение тока на участке .

Уравнение для приращений напряжений и тока на элементе длины запишутся следующим образом:

Разделив обе части на и перейдя к пределу , получим дифференциальные уравнения линии:

Эти уравнения известны под названием телеграфных уравнений. Если за начало отсчета принять конец линии , т.е. ввести новую переменную , то уравнения примут вид:

Уравнения могут быть решены однозначно при использовании начальных и граничных условий.

Установившийся режим в однородной линии

Пусть ток и напряжения изменяются по синусоидальному закону с угловой частотой , тогда уравнения в комплексной форме

Исключая ток, получим:

,

аналогично, исключая напряжение получим:

Введем следующее обозначение:

- коэффициент распространения.

С учетом , получим:

Имеем дифференциальные уравнения второго порядка. Решение их имеет вид:

.

Тогда ток:

- волновое сопротивление линии.

Для однородной линии, рассматриваемой между ее входными и выходными выводами как четырехполюсник, волновое сопротивление совпадает с характеристическим

Волновое сопротивление и коэффициент распространения называются вторичными параметрами однородной линии.

Если выразить комплексные коэффициенты и в показательной форме, то получим мгновенные значения напряжения и тока:

.

Ток:

Каждое из слагаемых можно рассматривать как бегущую волну, движущуюся в направлении возрастания или убывания координаты и затухающую в направлении движения. Фазовой скоростью волны называется скорость перемещения фазы колебания, которая в течение времени

и по мере увеличения расстояния , пройденного волной, остается постоянной, т.е.

Длиной волной называется расстояние между ближайшими двумя точками, взятое в направлении распространения волны, фазы колебания в которых различаются на : . Волну, движущуюся от начала линии называют прямой, а от конца линии – обратной.

Характеристики однородной линии. Коэффициент распространения, коэффициент затухания, коэффициент фазы. Входное сопротивление линии. Коэффициент отражение волны. Согласованная нагрузка линии. Линия без потерь.

_{Основная литература: 1[368 - 375], 2 [308 - 317].}

_{Дополнительная литература: 9 [454 - 479].}

Основная литература: 1 [212 – 223, 275 - 291], 2 [404 -408, 344 - 354].

Дополнительная литература: 9 [575 – 583, 513 - 535].

1. Что характеризует статическое сопротивление?

2. Схема замещения нелинейного элемента на линейном участке ВАХ.

3. Уравнение однородной линии.

4. Первичные и вторичные параметры линии.

5. Линия без потерь.