Относительное положение прямой и плоскости.
Задание 1.1. Определить расстояние от точки D до плоскости треугольника АВС (метрическая задача).
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. В качестве пересекающихся прямых выбираем горизонталь и фронталь плоскости треугольника ABC, так как при прямоугольном проецировании прямой угол проецируется без искажения, если одна его сторона параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей.
Алгоритм решения задачи:
Из точки D проводим перпендикуляр DF произвольной длины, используя горизонталь А2 и фронталь С1 плоскости треугольника ABC. При этом горизонтальная проекция перпендикуляра D1F1 перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали А121, а фронтальная проекция перпендикуляра D2F2 перпендикулярна фронтальной проекции фронтали
С212(D1F1 ⊥ A121, D2F2 ⊥ C212)
I
Определим точку пересечения построенного перпендикуляра DF с плоскостью треугольника ABC. Для этого перпендикуляр DF заключаем во вспомогательную фронтально проецирующую плоскость α. Находим линию пересечения плоскости треугольника ABC и вспомогательной плоскости α - прямую MH. Определим точку K, точку пересечения прямой MH с перпендикуляром DF; это и есть искомая точка пересечения перпендикуляра DF с плоскостью треугольника ABC.
Определим натуральную величину отрезка DK (расстояния от точки D до плоскости треугольника ABC) способом прямоугольного треугольника. В качестве одного катета треугольника выбираем фронтальную проекцию перпендикуляра D2K2, вторым катетом будет отрезок ΔYDK, равный разности координат У точек D и К.
Видимость проекций перпендикуляра DK определим, используя конкурирующие точки. Точка пересечения всегда видима и является границей видимости. На горизонтальной плоскости проекций в качестве конкурирующих точек рассмотрим точки 4 и 5 , принадлежащие разным геометрическим объектам. Точка 5 принадлежит перпендикуляру DK, а точка 4 стороне треугольника СВ. Координата Z точки 4 больше координаты Z точки 5 , следовательно, точка 4 расположена выше точки 5. На горизонтальной плоскости проекций сторона треугольника СВ видима, DK невидима. На фронтальной плоскости проекций в качестве конкурирующих точек выбираем точки 2 и 3 , принадлежащие разным геометрическим объектам. Точка 3 принадлежит прямой DK, а точка 2 принадлежит стороне треугольника AB. Координата Y точки 3 больше координаты Y точки 2, следовательно, точка 3 расположена от фронтальной плоскости дальше, чем точка. 2 . На фронтальной плоскости проекции сторона треугольника СВ видима, прямая DK невидима.
Относительное положение плоскостей
Задание 1.2. Построить плоскость DEF, перпендикулярную тре¬угольнику ABC (рис. 1).
Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Искомая плоскость должна содержать в себе заданную прямую DE и перпендикуляр, опущенный из любой точки этой прямой на заданную плоскость треугольника ABC. (Например, из точки D - перпендикуляр DF).
Алгоритм решения задачи:
Строим плоскость, перпендикулярную плоскости треугольника ABC, используя исходную прямую DE и построенный в предыдущей задаче перпендикуляр DF.
Две плоскости пересекаются по прямой линии. Для построения линии пересечения необходимо найти две точки, одновременно принадлежащие двум плоскостям. Точка К принадлежит треугольнику ABC и треугольнику DEF. Вторую точку M определяем, используя алгоритм нахождения точки пересечения прямой DE с плоскостью AВС, как в задании 1. Линия пересечения плоскостей всегда видима.
Определим видимость пересекающихся плоскостей, видимость плоскостей определяется с помощью конкурирующих точек. Видимость стороны DF определена в задании 1.1. Зная видимость стороны DF, можно определить видимость остальных сторон треугольников.