ПП _06 _Схема Бернулли
.pdfПП 6. СХЕМА БЕРНУЛЛИ ОСНОВНЫЕОПРЕДЕЛЕНИЯИФОРМУЛЫ
1. Повторение опытов
Рассмотрим опыт, в каждом из них может несколько раз появиться или не появиться событие А. Вероятность события А в каждом опыте не зависит от результатов других опытов.
2. Формула Бернулли
Вероятность того, что в результате n опытов событие А произойдет m раз, равна:
Pn (m) =Cnm pmq(n−m) = |
n! |
|
pm (1− p)n−m . |
|
m!(n −m)! |
||||
|
|
Вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит
менее m раз: |
Pn (0) +Pn (1) +...+Pn (m −1) , |
более m раз: |
Pn (m +1) +Pn (m +2) +... +Pn (n) , |
не менее m раз: |
Pn (m) +Pn (m +1) +... +Pn (n) , |
не более m раз: |
Pn (0) +Pn (1) +... +Pn (m) . |
Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие A1 произойдет m1 раз, событие A2 – m2 раз,…событие Ak – mk раз,
m1 + m2 +…+ mk = n , с вероятностями p1, p2 ,…, pk , p1 + p2 +…+ pk =1, равна
P (m ,m ,...m ) = |
n! |
|
|
p m1 |
p m2 |
...p mk . |
|||
m !m ! ... m ! |
|||||||||
n |
1 2 |
k |
1 |
2 |
k |
||||
|
|
|
1 2 |
k |
|
|
|
3. Наивероятнейшее число наступлений события при повторных испытаниях
Величина m0 называется наивероятнейшим числом появления события Ав п независимых испытаниях Бернулли, если вероятность Pm (A) достигает максимального значения при n = m0 .
Наивероятнейшее число появления события А m0 в n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А наступает с постоянной вероятностью р, определяется из неравенства
np −q ≤ m0 ≤ np + p , причем
• если число np −q дробное, то существует одно наивероятнейшее число
m0 ;
•если число np −q целое, то существует два наивероятнейших числа m0 и
m0 +1;
•если число np целое, то наивероятнейшее число т0 = np ;
• m0 [np −q, np + p], p +q =1;
Наивероятнейших чисел не может быть больше двух.
4. Предельные случаи формулы Бернулли
Формулы, полученные из формулы Бернулли в результате предельных переходов.
4.1. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа
Если вероятность p появления события А в каждом испытании отлична от нуля и единицы (0<p<1), то вероятность P n (m) того, что при n
независимых |
испытаниях |
событие |
А появляется |
|
m раз при n →∞ |
||||||
удовлетворяет соотношению |
|
|
|
x2 |
|||||||
P |
|
(m)≈ |
|
1 |
ϕ(x), где |
x = m −np , |
ϕ(x) = |
1 |
е− |
||
n |
|
2 |
– функция Гаусса. |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
npq |
npq |
|
2π |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Функция |
Гаусса достаточно быстро |
|
|
||||||||
убывает по мере удаления от начала |
|
|
|||||||||
координат: |
|
ϕ(x)≈0,3989 x >5 , |
|
|
ϕ(−x)=ϕ(x).
Теорему Муавра-Лапласа используют, если
p не мало, |
а npq >9 . Так, |
при n = 40 , |
m = 20 , |
p = q = 0,5 |
погрешность |
приближения составляет 0,6%.
Значения функции Гаусса находятся по таблицам.
4.2. Интегральная предельная теорема Муавра - Лапласа
Если вероятность p события А в каждом испытании отлична от 0 и 1 (0<p<1), то при n → ∞ вероятность того, что событие А наступит в n испытаниях не менее m1 раз, но не более m2 раз, удовлетворяет
соотношению:
Pn (m1 ,m2 )=Ф(x2 )−Ф(x1 ),
|
где |
x |
= m1 −np , x |
= m2 −np |
, |
|||||
|
|
1 |
|
|
npq |
2 |
npq |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
x |
z2 |
|
|
|
|
|
а Ф(x)= |
|
|
∫e− |
|
dz – функция Лапласа. |
||||
|
|
|
2 |
|||||||
|
2π |
|
||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
Функция |
Лапласа |
|
|
достаточно |
|
|||||
быстро приближается |
|
|
к |
|
своим |
|
||||
асимптотам: |
Φ(x) |
≈ 0,5 |
x > 5, |
|
Φ(−x)= −Φ(x).
Значения функции Лапласа находятся по таблицам.
4.3. Формула Пуассона
Если n велико, а p мало, мы имеем дело с редкими событиями, та же вероятность P n (m) вычисляется приближенно по формуле Пуассона:
Pn (m)≈ λme−λ , где λ = np . Эти значения Pn (m) приведены в таблицах, для m!
применения которых надо лишь вычислить λ и знать m. Формула Пуассона:
P (m)≈ λme−λ , где λ = np . n m!
На рисунке приведены значения вероятности, вычисленные по формуле Пуассона для p =0,001 и различных значений n. Смысл имеют значения только при целых m.
ПП 6. Формула Бернулли
№ п/п |
|
Задание |
|
Ответ |
ПП 6№1. |
Монета |
подброшена 10 |
раз. Найдите |
0, 246 |
|
вероятность того, что герб выпал 5 раз. |
|||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
P |
(5)= C5 |
1 |
5 |
1 |
5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
10 |
10 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
C105 |
= |
10! |
= |
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 |
= 252 , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
5! 5! 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
следовательно P |
|
(5)= 252 |
1 |
= |
|
252 |
≈ 0, 246. |
||||||||||||||
|
|
|
1024 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
210 |
|
|
|
|||||
|
Какова вероятность того, что при 10 бросаниях |
|||||||||||||||||||||
|
игральной кости два раза выпадут три очка? |
|||||||||||||||||||||
ПП 6.№2. |
РЕШЕНИЕ: |
|
|
1 |
|
2 |
5 |
8 |
≈0,029 . |
0,029 |
||||||||||||
|
|
P |
=C2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
2,10 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Что вероятнее выиграть у равного по силе противника:
а) три партии из четырех или пять из восьми; б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?
РЕШЕНИЕ:
а) В схеме повторных независимых испытаний Бернулли вероятность того, что событие с вероятностью p произойдет три раза из четырех,
равна P4 (3)= C43 p3 (1− p)4−1 . При игре в шахматы с равным по силе партнером вероятность
выиграть в отдельной партии p = |
1 |
. |
|
|
|
|
а) три из |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Биномиальные коэффициенты вычисляются по |
четырех; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ПП 6.№3. формуле |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) не менее |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пяти из |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cn = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
восьми |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m!(n −m)! |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
C3 |
= |
|
4! |
|
|
|
=1 2 3 4 |
= 4 , P |
(3)= 4 |
|
1 4 |
= 1 . |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
3! |
(4 −3)! 1 2 3 1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
Аналогично C85 |
= |
|
|
8! |
|
= |
1 2 3 4 5 6 7 8 |
= 56 , |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5! 3! 1 2 3 4 5 1 2 3 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
P (5)=56 |
1 |
8 |
= |
7 |
. Так как 1 > |
7 |
|
P |
(3)> P |
(5); |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
8 |
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 32 |
|
|
|
|
4 |
|
8 |
|
|
|||||||||||
б) |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 + |
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
P |
+ P |
|
= |
= 0,31 < |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
4,3 |
|
|
4,4 |
|
|
|
4 |
|
16 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
93 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
< P |
+ P |
|
+ P |
|
|
|
+ P |
= |
|
|
= 0,368 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
8,5 |
|
|
8,6 |
8,7 |
|
|
|
8,8 |
253 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите вероятность того, что при 5 бросаниях |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
монеты «орел» выпадет не менее 1 раза. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
События {орел выпадет не менее 1 раза} и |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ПП 6.№4. |
{орел не выпал ни разу} – противоположные. |
31 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
32 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Поэтому искомая вероятность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
P =1−q5 =1−C0 |
p0 |
|
q5 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5! |
|
1 |
0 |
|
1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
31 |
|
. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=1− |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
0! 5! |
|
|
|
|
|
32 |
|
32 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Вероятность попадания в цель при одном |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
что из 5 выстрелов будет: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
а) не менее четырёх попаданий; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
б) не более трёх попаданий; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
в) не менее одного и не более трёх попаданий. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) 0,73728; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ПП 6.№5. |
а) |
n =5, m2 = 4, |
p = 4 |
, |
q = |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) 0, 26272 ; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) 0, 2624 . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5! |
|
|
4 |
|
4 |
|
1 |
1 |
|
|
4 |
|
5 |
= 0,73728 ; |
||||||||
|
P |
(4 ≤ m ≤5)= P (4)+ P |
(5)= |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
5 |
|
5 |
|
5 |
|
|
|
4! 1! |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
б) n =5, m1 =3, p = |
4 |
, q = |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
P5 (0 ≤ m ≤3)=1−P5 (4)−P5 (5)=1−0,73728 = 0, 26272 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
в) m1 =1, m2 =3, n =5, |
|
|
p = |
4 , q = |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
P |
(1 ≤ m ≤3)= P (0 ≤ m ≤3)−P ( |
0)= 0, 26272 − |
1 5 |
= 0, 2624 . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Найдите вероятность наступления события А |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ПП 6.№6. |
шесть раз в серии из 500 испытаний, если |
0,0517 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
вероятность наступления этого события в одном |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
испытании равна 0,006. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
P |
≈ |
|
1 |
|
ϕ |
m − np |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
m ,n |
|
|
npq |
|
npq |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
P6,500 ≈ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
6 −500 0,006 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
= |
|
|||||
|
|
500 0,006 0,994 |
|
500 0,006 0,994 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
≈ |
|
1 |
|
ϕ(1,737)≈ 0,58 0,0878 = 0,0516. |
|
|
|||||||||||
|
1,727 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
||||||||||||||||
|
Найти вероятность наступления события А |
|
||||||||||||||||
|
четыре раза в серии из семи независимых |
|
||||||||||||||||
|
испытаний, если вероятность наступления этого |
|
||||||||||||||||
|
события в одном испытании равна 0,45. |
|
|
|||||||||||||||
ПП 6.№7. |
|
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
0,2387 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p =0,45; q =1 − p =0,55 . |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn (x = m)= Cnm pm qn−m |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
P7 (4)=C74 p4q3 = 35 (0,45)4 (0,55)3 ≈0,2387 . |
|
||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
Всхожесть семян данного сорта растений |
|
||||||||||||||||
|
оценивается с вероятностью, равной 0,8. Какова |
|
||||||||||||||||
ПП 6.№8. |
вероятность, |
|
что |
из |
5 посеянных |
растений |
0,737 |
|||||||||||
взойдут не менее 4? |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P= C50 (0, 2)0 (0,8)5 +C51 (0, 2)1 (0,8)4 ≈ 0, 737.
Всентябре в некоторой местности в среднем бывает 12 дождливых дней. Какова вероятность, что из случайно взятых в этом месяце 8 дней 3 дня окажутся дождливыми?
РЕШЕНИЕ:
Всентябре 30 дней, следовательно, вероятность
ПП 6.№9. |
того, что день окажется дождливым, p = 12 |
, |
0, 278 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
30 |
|
|
|||
|
тогда q =1− p = |
. Вероятность того, что 3 дня |
|
|||||||||||||
|
30 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
окажутся дождливыми, равна |
|
|
|||||||||||||
|
P |
(3)=C3 |
12 |
3 |
|
|
18 |
5 = |
8! |
|
63 93 |
≈ 0, 278. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
8 |
8 |
|
|
|
|
5! 3! |
8 |
|
|
|
|||||
|
|
|
30 |
|
|
|
30 |
15 |
|
|
|
|||||
|
|
|
||||||||||||||
|
Вероятность того, что любой абонент позвонит |
|
||||||||||||||
ПП 6.№10. |
на коммутатор в течение часа, равна 0,01. |
|
0,17 |
|||||||||||||
Телефонная станция обслуживает 300 |
|
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
абонентов. Какова вероятность, что в течение |
|
часа позвонят 4 абонента? РЕШЕНИЕ:
P (x = 4)= (np)4 e−np = 34 e−3 ≈ 0,17 .
4! 4!
Имеется общество из 500 человек. Найдите вероятность того, что у двух человек день рождения приходится на 31 декабря, считая, что вероятность рождения в определенный день
равна 3651 . РЕШЕНИЕ:
Вероятность того, что два человека родились в один и тот же день года
|
P (2)=C |
2 |
1 |
2 |
364 |
498 = |
500! |
|
|
364498 |
. |
||||||||||||||
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
500 |
|
|
|
|
|
|
|
500 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
365 |
|
365 |
|
2! 498! 365 |
|
|||||||||||||||
|
Вычисления |
|
|
затруднительны, |
|
|
|
поэтому |
|||||||||||||||||
ПП 6.№11. |
воспользуемся |
формулой |
Пуассона, дающей 0, 24 |
||||||||||||||||||||||
хорошее приближение при npq ≤ 9 : |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Pn (m)≈ |
λme−λ , где λ = np, |
q =1− p . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m! |
|
|
|
|
1 |
|
|
364 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Здесь |
npq =500 |
|
|
|
≈1,36 <9 . |
|||||||||||||||||||
|
365 |
365 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
P (2)≈ (np)m e−np |
= |
500 2 |
e−500/ 365 |
|
1 |
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
500 |
|
|
|
|
m! |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
365 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
=(1.36)2 e−1,36 |
1 |
≈ 0, 2385 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Значение функции |
λme−λ |
можно было найти по |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
таблице при λ =1,36 и m =2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Радиоаппаратура состоит из 1000 элементов. |
||||||||||||||||||||||||
|
Вероятность отказа одного элемента в течение |
||||||||||||||||||||||||
|
одного года работы равна 0.001 и не зависит от |
||||||||||||||||||||||||
|
состояния |
|
других |
|
|
|
|
элементов. |
|
|
|
Какова |
|||||||||||||
|
вероятность отказа двух и не менее двух |
||||||||||||||||||||||||
ПП 6.№12. |
элементов за год? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,264 |
|||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
P (x = m)= |
(np)m e−np , np =1, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
P (x = 2)= |
12 |
e−1 |
= |
1 |
≈ |
0,184 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
2! |
|
|
2e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
− P1 =1− 2 |
|
|
||
|
P (x ≥ 2)= ∑Pm =1−P0 |
≈ 0,264 . |
|
||||||||
|
|
m=2 |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
Вероятность поражения цели стрелком при |
|
|||||||||
|
одиночном выстреле |
p = 0, 2 , |
какова вероятность |
|
|||||||
|
того, что при 100 выстрелах цель будет |
|
|||||||||
|
поражена ровно 20 раз? |
|
|
||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По локальной теореме Муавра – Лапласа |
|
|||||||||
|
|
Pn (m) |
≈ |
|
1 |
|
ϕ(х), |
х = m −np |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
npq |
npq |
|
|||
ПП 6.№13. |
где |
ϕ(х)= |
1 |
|
e |
−х2 |
/ 2 |
- специальная функция, |
0,1 |
||
|
2π |
|
|
|
|||||||
|
ее значения табулированы. |
|
|
||||||||
|
|
Здесь p = 0, 2, q = 0,8, |
n =100, m = 20 , |
|
|||||||
|
npq = 100 0, 2 0,8 = 4 , х = 20 −100 0, 2 = 0 , |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
ϕ(х)=0,3989 по таблице |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
P100 (20)≈ 0,1. |
|
По данным ОТК 0,8 всего выпуска изделий не имеет дефектов. Вычислите вероятность того, что среди наудачу отобранных 400 изделий ровно у 80 будут дефекты.
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ПП 6.№14. |
n = 400; |
m =80; |
p = 0, 2; q = 0,8 . |
|
|
0,04986 |
||||||||||
Воспользуемся приближенной формулой |
||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
Pn |
(m)≈ |
|
1 |
ϕ(x), где |
x = |
m −np |
. |
|
|
|
|||||
|
|
npq |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|||
|
P400 (80)≈ |
|
|
1 |
|
|
80 −400 0, 2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
|
|
≈ |
|
||||
|
400 0, 2 0,8 |
|
400 0, 2 0,8 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
≈ 1 ϕ(0)≈ 1 0,3989 ≈ 0,04986. |
|
|
|
||||||||||||
|
8 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Всхожесть |
|
семян |
данного |
растения |
- |
70%. |
|
||||||||
|
Найдите |
вероятность |
|
того, |
что из |
2000 |
|
|||||||||
ПП 6.№15. посаженных семян взойдут 1500. |
|
|
0,00001 |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n = 2000; |
m =1500; |
p = 0,7; |
q = 0,3 . |
|
|
|
||||||||||
|
Воспользуемся |
|
|
|
приближенной |
|
формулой |
|
|||||||||
|
Муавра – Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
P2000 (1500)≈ |
|
|
1 |
|
|
|
ϕ(x), |
|
|||||||
|
|
|
2000 0,7 0,3 |
|
|||||||||||||
|
|
где |
|
|
|
|
1 |
|
≈ 0,049 , |
|
|||||||
|
|
|
2000 0,7 0,3 |
|
|||||||||||||
|
|
x = m −np |
=1500 −2000 0,7 ≈ 4,88 , |
|
|||||||||||||
|
|
|
npq |
|
|
|
2000 0,7 0,3 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
ϕ(4,88)< 0,00001. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
P2000 (1500)< 0,00001. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Испытывается каждый из 15 приборов. |
|
|||||||||||||||
|
Вероятность того, что прибор выдержит |
|
|||||||||||||||
|
испытание, равна 0,9. Найдите наивероятнейшее |
|
|||||||||||||||
ПП 6.№16. |
число приборов, которые выдержат испытания. |
14 |
|||||||||||||||
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
По условию n =15, |
p = 0,9, q = 0,1 . |
|
||||||||||||||
|
np −q ≤ m0 ≤ np + p , |
15 0,9 −0,1 ≤ т0 ≤15 0,9 +0,9 , |
|
||||||||||||||
|
|
13,5 ≤ т0 ≤14, 4 т0 |
=14 . |
|
|
|
|||||||||||
|
Вероятность изделию оказаться |
бракованным |
|
||||||||||||||
|
равна 0,005. Найти вероятность того, что из |
|
|||||||||||||||
|
10 000 |
наугад |
|
взятых |
изделий |
бракованных |
|
||||||||||
|
окажется не больше 70. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
0 ≤ m ≤ 70 |
|
|
|
|
|
|
||||||
ПП 6.№17. |
|
Pn (k1 |
≤ m ≤ k2 )≈Φ(x2 ) |
−Φ(x1 ), |
0,99774 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k1 −np |
|
|
k2 −np |
|
|||||||
|
|
где |
x1 |
= |
, x2 = |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
npq |
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
x1 = |
|
0 −10000 0,005 |
|
≈ −7,09 , |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
10000 0,005 0,995 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
x2 = |
70 −10000 0,005 |
≈ 2,84 . |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
49,75 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Φ(2,84)≈ 0, 49774 , |
Φ(−7,09)≈ 0,5 . |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
P10000 (0 ≤ m ≤ 70)≈ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ 0, 49774 +0,5 = 0,99774 . |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
Всхожесть семян данного сорта растения 0,9. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
Найдите вероятность того, что из 900 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
посаженных семян число проросших будет |
|
||||||||||||||||||||||||
|
заключено между 790 и 830. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Воспользуемся интегральной теоремой Муавра |
|
||||||||||||||||||||||||
|
– Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m −np |
|
|
|
|
|
|
m |
−np |
|
|
||||||||
|
|
|
P (m1 |
< µ < m2 )≈Φ* |
2 |
|
|
|
|
−Φ* |
1 |
|
|
, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
npq |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ПП 6.№18. |
|
|
|
|
|
|
|
где Φ* (x)= |
1 |
|
∫x |
e−t2 / 2dt . |
|
|
|
0,97 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π −∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Функция Φ* (x) удовлетворяет соотношению |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Φ* (−x)=1−Φ* (x). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Здесь n = 900, |
|
p = 0,9, |
|
q = 0,1 , |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
npq = 900 0,9 0,1 =9 , |
np =810. |
|
|
||||||||||||||||
|
830 −810 |
|
=Φ(2, 22); Φ 790 −810 |
|
=Φ(−2, 22); |
|
|
|||||||||||||||||||
|
Φ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
9 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
P (790 < µ <830)≈Φ(2, 22)−Φ(−2, 22)≈ |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
≈2Φ(2,22)=2 0,4868 =0,9736 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
Какова вероятность того, что в столбике из 100 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
монет, отобранных наугад, число монет, |
|
||||||||||||||||||||||||
|
расположенных “гербом” вверх, будет от 45 до |
|
||||||||||||||||||||||||
|
55? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь n =100, p = q = |
. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
ПП 6.№19. |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
0,68 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
45 −100 |
|
|
|
55 −100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Φ = |
|
|
|
|
2 |
=Φ(−1), Φ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
=Φ(1), |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
100 |
|
1 |
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
P (45 ≤ x ≤ 55)=Φ(1)−Φ(−1)= |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 2Φ(1)≈ 2 0,3413 = 0, 6826 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
Игральную кость бросают 800 раз. Какова |
|
|
|||||||||||||||||||||||
ПП 6.№20. |
вероятность того, что число очков, кратное 3, |
0,03 |
||||||||||||||||||||||||
выпадет 267 раз? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
РЕШЕНИЕ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|