6.3. Системы линейных ду с постоянными коэффициентами

Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнений (6.1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему вида

Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями y₁, у₂ и у₃:

где все коэффициенты а_ij (i,j= 1,2,3) - постоянные.

Будем искать частное решение системы (6.6) в виде

где а, β, γ, k - постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (6.7) удовлетворяли системе (6.6).

Подставив эти функции в систему (6.6) и сократив на множитель получим:

или

Систему (6.8) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными а, β, γ.

Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю:

Уравнение (6.9) называется характеристическим уравнением системы (6.6). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени относительно к. Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны: k₁ k₂, k₃. Для каждого корня k_i (i=1,2,3) напишем систему (6.8) и определим коэффициенты (один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким образом, получаем:

для корня k₁ частное решение системы (6.6):

для корня

для корня

Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему, общее решение системы (6.6) записывается в виде

Пример 6.3. Решить систему уравнений:

Решение: Характеристическое уравнение (6.9) данной системы имеет вид

 или 1-2k+k²-4=0, k²-2k-3=0, k₁=-1, k₂=3. Частные решения данной системы ищем в виде   y₂⁽²⁾=β₂е^k2x. Найдем

При k₁=-1 система (6.8) имеет вид

т. е.

Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим α₁=1, тогда β₁=2. Получаем частные решения

При k₂=3 система (6.8) имеет вид

Положим α₂=1, тогда β₂=-2. Значит, корню k₂=3 соответствуют частные решения:

Общее решение исходной системы, согласно формуле (6.10), запишется в виде:

Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: Вид частных решений в этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.

Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять их линейные комбинации (п. 4.1, случай 3), применяя формулы Эйлера; в результате получим два действительных решения, содержащих функции вида Или, выделяя действительные и мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим два действительных частных решения (можно показать, что они тоже являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно-сопряженный корень k₂=а-ib не даст новых линейно независимых действительных решений.

 Пример 6.4. Найти частное решение системы

удовлетворяющее начальным условиям:

Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение:

Для k₁=1 получаем:

(см. (6.8)). Отсюда находим: β₁=0, а₁=1 (положили),γ₁=-1. Частное решение системы:

Для k₂=1+2i получаем (см. (6.8)):

Отсюда находим: α₂=1 (положили), β₂=2i, γ₂=3. Частное комплексное решение системы:

В найденных решениях выделим действительную (Re) и мнимую (Im) части:

Как уже отмечено, корень k₃=1-2i приведет к этим же самым решениям. Таким образом, общее решение системы имеет вид

Выделим частное решение системы. При заданных начальных условиях получаем систему уравнений для определения постоянных c₁, с₂, с₃:

Следовательно, искомое частное решение имеет вид

 Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень К кратности m (m=2,3). Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде:

а) если m=2, то

б)если m=3, то

Это решение зависит от m произвольных постоянных. Постоянные А,В,С,... ,N определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через m из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим m линейно независимых частных решений системы (6.6).

 

Пример 6.5. Решить систему уравнений:

Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение

(1-k)(2-2k-k+k²-1)-1(-2+k+1)=0, k₁=2, k₂=k₃=1. Корню k₁=2 соответствует система (см. (6.8)):

Полагая γ₁=1, находим α₁=1. Получаем одно частное решение исходной системы:

Двукратному корню k=k₂=k₃=1 (m=2) соответствует решение вида  Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы:

или, после сокращения на и группировки,

Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда

Выразим все коэффициенты через два из них (m=2), например через А и В. Из второго уравнения имеем F=В. Тогда, с учетом первого уравнения, получаем D= В. Из четвертого уравнения находим Е=А - D, т. е. Е=А - В. Из третьего уравнения: С=Е-В, т. е. С=А - В- В, или С - А - 2В. Коэффициенты А и В - произвольные.

Полагая А=1, В=0, находим: С=1, D=О, Е=1, F=0.

Полагая А=0, В=1, находим: С=-2, D=1, Е=-1, F=1.

Получаем два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корню k=1:

Записываем общее решение исходной системы:

39