- •Лекция № 1
- •§1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
- •§2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Основные понятия
- •2.2. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Лекция № 2
- •2.3. Однородные дифференциальные уравнения
- •2.4. Линейные уравнения. Уравнение я. Бернулли
- •Лекция № 3
- •2.5. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
- •2.6. Уравнения Лагранжа и Клеро
- •§3. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •3.1. Основные понятия
- •Лекция № 4
- •3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
- •3.3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
- •3.4. Линейные однородные ду второго порядка
- •3.5. Линейные однородные ду n-го порядка
- •Лекция № 5
- •§4. Интегрирование ду второго порядка с постоянными коэффициентами
- •4.1. Интегрирование лоду второго порядка с постоянными коэффициентами
- •4.2. Интегрирование лоду n-го порядка с постоянными коэффициентами
- •§5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •5.1. Структура общего решения лнду второго порядка
- •5.2. Метод вариации произвольных постоянных
- •Лекция № 6
- •5.3. Интегрирование лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
- •§6. Системы дифференциальных уравнений
- •6.1. Основные понятия
- •Лекция № 7
- •6.2. Интегрирование нормальных систем
- •6.3. Системы линейных ду с постоянными коэффициентами
2.2. Уравнения с разделяющимися переменными
Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение вида
P(x)•dх+Q(y)•dy=0. (2.5)
В нем одно слагаемое зависит только от х, а другое - от у. Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:
- его общий интеграл.
Пример 2.2. Найти общий интеграл уравнения х•dx-у•dy=0.
Решение: Данное уравнение есть ДУ с разделенными переменными. Поэтому Обозначим с/2=c1. Тогда х2-y2=с - общий интеграл ДУ.
Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид
Особенность уравнения (2.6) в том, что коэффициенты при dx и dу представляют собой произведения двух функций (чисел), одна из которых зависит только от х, другая - только от у.
Уравнение (2.6) легко сводится к уравнению (2.5) путем почленного деления его на Q1(у)•Р2(х)≠0. Получаем:
- общий интеграл.
Замечания.
1. При проведении почленного деления ДУ на Q1(y)•Р2(х) могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно решить уравнение Q1(у)•Р2(х)=0 и установить те решения ДУ, которые не могут быть получены из общего решения, - особые решения.
2. Уравнение y'=ƒ1(х)•ƒ2(y) также сводится к уравнению с разделенными переменными. Для этого достаточно положить и разделить переменные.
3. Уравнение y'=ƒ(ах+by+с), где а,b,с - числа, путем замены ах+by+с=u сводится к ДУ с разделяющимися переменными. Дифференцируя по х, получаем:
Данное уравнение принимает вид откуда следует
Интегрируя это уравнение и заменяя u на ах+by+с, получим общий интеграл исходного уравнения.
Пример 2.3. Решить уравнение
(y+xy)•dx+(х-xy)•dy=0.
Решение: Преобразуем левую часть уравнения:
у•(1+х) • dx+х • (1-у)•dу=0.
Оно имеет вид (2.6). Делим обе части уравнения на ху≠0:
Решением его является общий интеграл х+ln|x|+ln|y|-у=с, т. е. ln|ху|+х-у=с.
Здесь уравнение Q1(у)•Р2(х)=0 имеет вид ху=0. Его решения х=0, у=0 являются решениями данного ДУ, но не входят в общий интеграл. Значит, решения х=0, у=0 являются особыми.
Пример 2.4. Решить уравнение удовлетворяющее условию у(4)=1
Решение: Этот пример представляет собой решение задачи 2 из п. 1.2. Имеем: Проинтегрировав, получим:
т. е. - общее решение ДУ.
Оно представляет собой, геометрически, семейство равносторонних гипербол. Выделим среди них одну, проходящую через точку (4; 1). Подставим х=4 и у=1 в общее решение уравнения: 1=c/4, с=4.
Получаем: - частное решение уравнения
Пример 2.5. Найти общее решение ДУ
Решение: Этот пример демонстрирует решение задачи 1 из п. 1.2. Приведем данное уравнение к виду (2.5):
Интегрируем: Отсюда - общее решение уравнения.
Лекция № 2
2.3. Однородные дифференциальные уравнения
К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка.
Функция ƒ(x;y) называется однородной функцией N-го поpядкa (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λ N, т. е.
Например, функция ƒ(x;у)=х2-2ху есть однородная функция второго порядка, поскольку
Дифференциальное уравнение
У'=ƒ(х; у) (2.7)
называется однородным, если функция ƒ(х;у) есть однородная функция нулевого порядка.
Покажем, что однородное ДУ (2.7) можно записать в виде
Если ƒ(x;у) - однородная функция нулевого порядка, то, по определению, Положив получаем:
однородное уравнение (2.8) преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными при помощи замены переменной (подстановки)
Действительно, подставив у=uх и y'=u'x+u в уравнение (2.8), получаем уравнение с разделяющимися переменными. Найдя его общее решение (или общий интеграл), следует заменить в нем u на . Получим общее решение (интеграл) исходного уравнения.
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:
ДУ (2.10) будет однородным, если Р(х;у) и Q(x;у) - однородные функции одинакового порядка.
Переписав уравнение (2.10) в виде и применив в правой части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение
При интегрировании уравнений вида (2.10) нет необходимости предварительно приводить их (но можно) к виду (2.8): подстановка (2.9) сразу преобразует уравнение (2.10) в уравнение с разделяющимися переменными.
Пример 2.6. Найти общий интеграл уравнения
Решение: Данное уравнение однородное, т. к. функции Р(х;у)=х2-у2 и Q(x;у)=2ху - однородные функции второго порядка.
Положим у=u • х. Тогда dy=х • du+u • dx. Подставляем в исходное уравнение:
последнее - уравнение с разделяющимися переменными. Делим переменные
и интегрируем
Обозначим Тогда
Заменяя u на получаем: х2+у2=сх - общий интеграл исходного уравнения.
Отметим, что данное уравнение можно было сначала привести к виду (2.8):
Затем положить у=u • х, тогда y'=u'x+u и т. д.
Уравнение вида где а, b, с, a1, b1, c1 - числа, приводится к однородному или с разделяющимися переменными. Для этого вводят новые переменные u и v, положив х=u+а, y=v+β, где а и β - числа. Их подбирают так, чтобы уравнение стало однородным.
Пример 2.7. Найти общий интеграл уравнения
т. е.
Решение: Положив получаем:
Подберем α и β так, чтобы
Находим, что α=1, β=- 1. Заданное уравнение примет вид
и будет являться однородным. Его решение получается, как это было показано выше, при помощи подстановки v=tu. Заметим, что, решив его, следует заменить u и v соответственно на х-1 и y+1. В итоге получим (y-х+2)3=с(х+у) - общий интеграл данного уравнения.