- •Пояснительная записка
- •Программа курса
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления
- •2.7. Функции нескольких переменных
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2.9. Определенный интеграл
- •2.10. Кратные интегралы
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •2.12. Ряды
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1.1. Аналитическая геометрия на плоскости Метод координат
- •Ответы на тестовые задания
- •Прямая линия
- •Ответы на тестовые задания
- •Кривые второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Парабола
- •Ответы на тестовые задания
- •1.2. Векторная алгебра
- •Линейные операции над векторами
- •Векторный базис на плоскости и в пространстве
- •Скалярное произведение векторов
- •Операции над векторами в координатной форме
- •Ответы на тестовые задания
- •1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве r3
- •1.4. Матрицы
- •Ответы на тестовые задания
- •1.5. Системы линейных уравнений и неравенств
- •Ответы на тестовые задания
- •1.6. Комплексные числа
- •Ответы на тестовые задания
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.1. Числовая последовательность и ее предел Действительные числа. Числовые множества
- •Числовые последовательности
- •Предел числовой последовательности
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
- •Ответы на тестовые задания
- •2.2. Предел функции одной переменной
- •Ответы на тестовые задания
- •2.3. Непрерывные функции одной переменной
- •Критерий непрерывности функции
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Ответы на тестовые задания
- •2.4. Производная и дифференциал функции одной переменной Определение и геометрический смысл производной
- •Правила дифференцирования и таблица производных
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Дифференцирование неявных функций
- •Производная высших порядков
- •Применение производной в экономике
- •Дифференциал функции
- •Ответы на тестовые задания
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма
- •Теорема Ролля
- •Теорема Лагранжа
- •Теорема Коши
- •Правило Лопиталя
- •Ответы на тестовые задания
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления Четность, нечетность и периодичность функции
- •Условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Ответы на тестовые задания
- •2.7. Функции нескольких переменных Понятие функции нескольких переменных
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Предел функции
- •Решение
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные и дифференциал функции
- •Решение
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Решение
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению. Градиент
- •Решение
- •Решение
- •Дифференцирование сложных и неявных функций Случай одной независимой переменной
- •Случай нескольких независимых переменных
- •Дифференциал сложной функции
- •Неявная функция одной переменной
- •Неявная функция двух переменных
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые условия экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Решение
- •Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (глобальный экстремум)
- •Решение
- •Эмпирические формулы
- •Решение
- •Ответы на тестовые задания
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Интегрирование способом подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Ответы на тестовые задания
- •2.9. Определенный интеграл Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения при помощи определенного интеграла
- •Применение определенного интеграла в экономике
- •Вычисление дуги кривой при помощи определенного интеграла
Свойства сходящихся последовательностей
Для нахождения пределов можно воспользоваться их некоторыми свойствами.
Если c = const, то:
= + = A + B; (2)
= – = A – B; (3)
(4)
(5)
если все и В ≠ 0. (6)
Пример 8. Найти предел последовательности, общий член которой
Решение
Разделим числитель и знаменатель дроби на n. Перейдя к пределу по формулам 2–6, получим:
Здесь принято во внимание, что (c = const) и предел постоянной равен самой постоянной.
Пример 9. Найти предел последовательности, общий член которой
Решение
Разделим числитель и знаменатель дроби на n. Перейдя к пределу по формулам 2–6, получим:
Тест 13. Пределом последовательности с общим членом является:
1) 1;
2) 0;
3) ;
4)
5) нет правильного ответа.
Тест 14. Пределом последовательности с общим членом является:
1) 1;
2) 0;
3) 3;
4)
5) нет правильного ответа.
Тест 15. Пределом последовательности с общим членом является:
1) 6;
2) 0;
3) ;
4) 2;
5) нет правильного ответа.
Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
Последовательность называется бесконечно большой, если для любого числа существует такой номер n0 = n0(), зависящий от , что для всех n > n0 выполняется неравенство
В этом случае пишут и говорят, что последовательность имеет пределом +(). Бесконечно большие последовательности не имеют предела в том смысле, как он был определен выражением (1), обозначающим конечный предел. Термин «сходящаяся последовательность» употребляется только для последовательностей, имеющих конечный предел.
Бесконечно малой последовательностью называется последовательность, имеющая своим пределом ноль, т. е. для которой выполняется равенство
Если последовательность в которой все an ≠ 0, является бесконечно малой, то последовательность является бесконечно большой. Для бесконечно большой последовательности , где an ≠ 0, последовательность является бесконечно малой.
Пример 10. Примером бесконечно малой последовательности может служить гармоническая последовательность
Пример 11. Последовательность 1, 4, 9, …, n2, … является бесконечно большой, так как для числа Р = 105 в качестве номера n0 можно взять число 103.
Тест 16. Последовательность, заданная общим членом
1) бесконечно малая;
2) бесконечно большая;
3) не имеет предела;
4) монотонно возрастает.
Тест 17. Последовательность, заданная общим членом
1) бесконечно малая;
2) бесконечно большая;
3) имеет конечный предел;
4) монотонно убывает.
Тест 18. Указать, какая из предложенных последовательностей является бесконечно большой:
1)
2)
3)
4)
Тест 19. Последовательность 0, 1, 0, 1, :
1) имеет конечный предел;
2) не имеет предела;
3) имеет бесконечный предел;
4) является монотонной.
Тест 20. Последовательность
1) является бесконечно большой;
2) является бесконечно малой;
3) монотонно возрастает;
4) не имеет предела.
Тест 21. Последовательность
1) имеет конечный предел;
2) не имеет предела;
3) имеет бесконечный предел;
4) является монотонно убывающей;
5) иной ответ.