- •Пояснительная записка
- •Программа курса
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления
- •2.7. Функции нескольких переменных
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •2.9. Определенный интеграл
- •2.10. Кратные интегралы
- •2.11. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- •2.12. Ряды
- •Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия
- •1.1. Аналитическая геометрия на плоскости Метод координат
- •Ответы на тестовые задания
- •Прямая линия
- •Ответы на тестовые задания
- •Кривые второго порядка
- •Ответы на тестовые задания
- •Парабола
- •Ответы на тестовые задания
- •1.2. Векторная алгебра
- •Линейные операции над векторами
- •Векторный базис на плоскости и в пространстве
- •Скалярное произведение векторов
- •Операции над векторами в координатной форме
- •Ответы на тестовые задания
- •1.3. Элементы аналитической геометрии в пространстве
- •Прямая в пространстве
- •Прямая и плоскость в пространстве r3
- •1.4. Матрицы
- •Ответы на тестовые задания
- •1.5. Системы линейных уравнений и неравенств
- •Ответы на тестовые задания
- •1.6. Комплексные числа
- •Ответы на тестовые задания
- •Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения
- •2.1. Числовая последовательность и ее предел Действительные числа. Числовые множества
- •Числовые последовательности
- •Предел числовой последовательности
- •Свойства сходящихся последовательностей
- •Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности
- •Ответы на тестовые задания
- •2.2. Предел функции одной переменной
- •Ответы на тестовые задания
- •2.3. Непрерывные функции одной переменной
- •Критерий непрерывности функции
- •Точки разрыва функции и их классификация
- •Ответы на тестовые задания
- •2.4. Производная и дифференциал функции одной переменной Определение и геометрический смысл производной
- •Правила дифференцирования и таблица производных
- •Производная сложной функции
- •Производная обратной функции
- •Логарифмическое дифференцирование
- •Дифференцирование неявных функций
- •Производная высших порядков
- •Применение производной в экономике
- •Дифференциал функции
- •Ответы на тестовые задания
- •2.5. Основные теоремы о дифференцируемых функциях Теорема Ферма
- •Теорема Ролля
- •Теорема Лагранжа
- •Теорема Коши
- •Правило Лопиталя
- •Ответы на тестовые задания
- •2.6. Приложения дифференциального исчисления Четность, нечетность и периодичность функции
- •Условия монотонности функции. Экстремумы функции
- •Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •Асимптоты графика функции
- •Общая схема исследования функции и построения графика
- •Ответы на тестовые задания
- •2.7. Функции нескольких переменных Понятие функции нескольких переменных
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Решение
- •Предел функции
- •Решение
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Частные производные и дифференциал функции
- •Решение
- •Частные производные и дифференциалы высших порядков
- •Решение
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Производная по направлению. Градиент
- •Решение
- •Решение
- •Дифференцирование сложных и неявных функций Случай одной независимой переменной
- •Случай нескольких независимых переменных
- •Дифференциал сложной функции
- •Неявная функция одной переменной
- •Неявная функция двух переменных
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые условия экстремума
- •Достаточные условия экстремума
- •Условный экстремум
- •Решение
- •Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области (глобальный экстремум)
- •Решение
- •Эмпирические формулы
- •Решение
- •Ответы на тестовые задания
- •2.8. Первообразная и неопределенный интеграл
- •Интегрирование способом подстановки
- •Интегрирование по частям
- •Ответы на тестовые задания
- •2.9. Определенный интеграл Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
- •Вычисление площадей плоских фигур при помощи определенного интеграла
- •Вычисление объема тела вращения при помощи определенного интеграла
- •Применение определенного интеграла в экономике
- •Вычисление дуги кривой при помощи определенного интеграла
Решение
Чтобы найти f(1; 2), надо в выражении для f(x; y) подставить x = 1, y = 2 и выполнить указанные в f действия.
Имеем:
Пример 2. Найти область определения функции и изобразить графически.
Решение
Эта функция двух переменных определена, когда выражение под знаком квадратного корня неотрицательно, т. е. 4 – х2 – y2 0 или x2 + y2 4. Последнему соотношению удовлетворяют координаты всех точек, находящихся внутри круга радиусом R = 2 с центром в начале координат и на его границе. Область определения данной функции – указанный круг (рисунок 40).
Рисунок 40
Пример 3. Найти область определения функции и изобразить графически.
Решение
Данная функция определена на интервале [–1; 1], т. е.
или
Неравенства y2 x и y2 –x задают часть плоскости, расположенную вне обеих парабол одновременно. Отметим, что точка (0; 0) не входит в искомую область определения.
Найденное множество точек, являющееся областью определения заданной функции, штриховкой показано на рисунке 41.
Рисунок 41
Пример 4. Найти область определения функции и изобразить графически.
Решение
Область определения функции находится как решение неравенства
или
Это неравенство описывает внутреннюю часть эллипса (рисунок 42).
Рисунок 42
Тест 1. Значение функции f(x) в точке (2; 1) равно:
1) 7;
2) –5;
3) –1;
4) 1;
5) –2.
Тест 2. Область определения функции является:
1)
2)
3)
4)
5)
Тест 3. Указать функцию двух переменных:
1)
2)
3)
4)
5)
Предел функции
Число называется пределом функции z = f(x; y) в точке M0(x0; y0), если для любого числа > 0 найдется число > 0, зависящее от , такое, что для всех точек M(x; y), отстоящих от M0 не более чем на , выполняется неравенство
Записывают:
На функции нескольких переменных легко переносятся все положения теории пределов функции одной переменной, в частности, справедлива теорема, представленная ниже.
Теорема
1)
2)
3) , если
Пример 5. Найти предел
Решение
Пример 6. Найти предел
Решение
Имеем неопределенность вида Раскроем эту неопределенность. Избавимся от иррациональности в числителе
Пример 7. Вычислить
Решение
Имеем неопределенность вида Находим
так как
Пример 8. Вычислить
Решение
Имеем неопределенность вида Выражение, стоящее под знаком предела, преобразуем к такому виду, чтобы можно было воспользоваться вторым замечательным пределом
Пример 9. Вычислить
Решение
Данная функция определена всюду на координатной плоскости Oxy, кроме точки O(0; 0). Рассмотрим предел этой функции при стремлении точки M(x; y) к началу координат по любой прямой, проходящей через точку O, т. е. вдоль линии (k 0)
Получили, что значение предела зависит от углового коэффициента прямой. Итак, соответствующим разным значениям k получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке O(0; 0) не существует.
Тест 4. Вычислить предел (4ху – 1):
1) –3;
2) 0;
3) –8;
4) –9;
5) –10.
Тест 5. Вычислить
1) ;
2) 0;
3) 2;
4) 5;
5) .