Вариант № 25

1. Даны векторы .

Необходимо: а) вычислить смешанное произведение трех векторов 5a, -b, 3c; б) найти модуль векторного произведения векторов -7a, 4c; в) вычислить скалярное произведение двух векторов 3a, 9b; г) проверить, будут ли коллинеарными или ортогональными два вектора a, c; д) проверить, будут ли компланарны три вектора 3a, -9b, 4c.

2. Даны вершины треугольника . Найти:

а) уравнение стороны АВ;

б) уравнение высоты СН;

в) уравнение медианы АМ;

г) точку N пересечения медианы AM и высоты СН;

д) уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB;

е) расстояние от точки C до прямой AB.

3. Составить канонические уравнения: а) эллипса; б) гиперболы; в) параболы (А, В - точки, лежащие на кривой, F - фокус, a - большая (действительная) полуось, b - малая (мнимая) полуось, - эксцентриситет, - уравнение асимптот гиперболы, D - директриса кривой, 2c - фокусное расстояние), если

а). ; б). k = 1/2, = , в). D: y = -1.

4. Записать уравнение окружности, проходящей через фокусы гиперболы и имеющей центр в точке A(0, 5).

5. Построить кривую, заданную уравнением в полярной системе координат

ИДЗ №2

Часть 2

Задание 6. Даны координаты вершин пирамиды A, B, C, D. Найти: 1) длину ребра AB; 2) угол между рёбрами AB и AD; 3) уравнение прямой AB; 4) уравнение плоскости ABC; 5) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC; 6) объем пирамиды; 7) площадь грани АВС.

1. A (1;-1;2), B(2;-1;3), C(1;3;-1), D(2;0;-2).

2. A (0;-2;5), B(6;6;0), C(3;-3;6), D(2;-1;3).

3. A (4;5;-3), B(6;3;0), C(8;5;-9), D(-3;-2;-10).

4. A (5;-6;2), B(2;-1;3), C(1;9;-1), D(2;-1;-2).

5. A (-5;6;2), B(8;-1;3), C(2;1;-1), D(3;-1;-4).

6. A (-1;1;2), B(8;-1;1), C(2;1;-1), D(-3;-1;-4).

7. A (-1;1;1), B(1;-1;1), C(2;2;2), D(-3;-1;2).

8. A (-1;2;1), B(3;-3;3), C(2;1;2), D(-3;1;2).

9. A (-1;2;1), B(4;-3;3), C(5;1;2), D(0;1;2).

10. A (-4;3;1), B(4;-5;3), C(5;1;6), D(0;1;3).

11. A (-4;4;1), B(4;-6;0), C(9;1;0), D(-5;2;3).

12. A (7;7;3), B(6;5;8), C(3;5;8), D(8;4;1).

13. A (-7;7;-3), B(6;5;-8), C(3;-5;8), D(-8;4;1).

14. A (10;6;6), B(-2;8;2), C(6;8;9), D(7;10;3).

15. A (2;1;4), B(-1;5;-2), C(-7;-3;2), D(-6;3;6).

16. A (8;6;4), B(5;7;7), C(5;3;1), D(2;3;7).

17. A (-7;1;-3), B(6;15;-8), C(4;5;2), D(2;4;1).

18. A (0;-1;-1), B(-2;3;5), C(1;-5;-9), D(-1;-6;3).

19. A (-4;2;6), B(2;2;1), C(-1;0;1), D(-4;6;-3).

20. A (-1;5;1), B(0;4;8), C(2;-1;7), D(4;0;1).

21. A (-1;1;2), B(8;-1;1), C(2;1;-1), D(-3;-1;-4).

22. A (-1;1;1), B(1;-1;1), C(2;2;2), D(-3;-1;2).

23. A (-1;2;1), B(3;-3;3), C(2;1;2), D(-3;1;2).

24. A (-1;2;1), B(4;-3;3), C(5;1;2), D(0;1;2).

25. A (-4;3;1), B(4;-5;3), C(5;1;6), D(0;1;3).

Решение типовой задачи.

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(1;-3;2), В(2;-1;-1), С(3;-4;3) и уравнение прямой проходящей через точку D(3;4;5) перпендикулярно данной плоскости.

Решение. Пусть M(x;y;z) – произвольная точка искомой плоскости. Векторы , линейно независимы так как их координаты не пропорциональны. Тогда вектор есть линейная комбинация этих векторов, т.е. векторы , , линейно зависимы. Но тогда определитель матрицы, составленный из координат этих векторов

должен быть равен нулю. Откуда или . Это и есть уравнение искомой плоскости.

Вектор нормали к данной плоскости равен . Поэтому уравнение прямой, параллельной вектору и проходящей через точку можно записать в виде:

Задание 7. Даны векторы в ортонормированном базисе . Показать, что эти векторы образуют базис. Найти:

1. матрицу перехода от базиса к базису ;

2. координаты вектора в базисе .

1. (3;1;3), (2;1;0), (1;0;1), (4;2;1).

2. (10;3;1), (1;4;2), (3;9;2), (19;30;7).

3. (2;-1;11), (1;1;0), (0;1;2), (2;5;3).

4. (8;2;3), (4;6;10), (3;-2;1), (7;4;11).

5. (1;-2;3), (4;7;2), (6;4;2), (14;18;6).

6. (3;1;8), (0;1;3), (1;2;-1), (2;0;-1).

7. (2;4;1), (1;3;6), (5;3;1), (24;20;6).

8. (-1;7;-4), (-1;2;1), (0;-3;2), (2;1;-1).

9. (4;7;8), (9;1;3), (2;-4;1), (1;-13;-13).

10. (2;7;5), (1;0;1), (1;-2;0), (0;3;1).

11. (3;7;2), (2;3;4), (6;2;2), (3;-1;2).

12. (0;1;1), (2;3;4), (0;0;1), (-1;-2;-4).

13. (-2;0;-2), (0;-1;1), (-2;0;-3), (-1;1;-3).

14. (0;-1;-3), (0;1;0), (-2;1;-4), (-1;1;-3).

15. (-2;-2;-3), (-2;1;1), (-2;-2;2), (-1;1;3).

16. (2;-2;0), (3;0;1), (4;-2;0), (3;-1;1).

17. (2;-2;4), (3;1;-1), (-4;5;2), (8;-1;6).

18. (3;4;1), (5;8;-1), (6;-1;4), (5;-1;3).

19. (-3;1;4), (7;1;-5), (8;1;6), (-1;2;4).

20. (-3;8;2), (5;9;-4), (6;1;8), (-2;-3;-4).

21. (3;1;8), (0;1;3), (1;2;-1), (2;0;-1).

22. (2;4;1), (1;3;6), (5;3;1), (24;20;6).

23. (-1;7;-4), (-1;2;1), (0;-3;2), (2;1;-1).

24. (4;7;8), (9;1;3), (2;-4;1), (1;-13;-13).

25. (2;7;5), (1;0;1), (1;-2;0), (0;3;1).

Решение. В трехмерном векторном пространстве любая тройка линейно независимых векторов образует базис. Поэтому необходимо доказать линейную независимость векторов . Кроме того, чтобы представить вектор в виде линейной комбинации векторов , необходимо решить систему линейных уравнений . Решим эту систему методом Гаусса. Одновременно выясним, являются ли векторы линейно независимыми (векторы линейно независимы, если и только если система имеет единственное решение). Итак, составим расширенную матрицу данной системы уравнений и элементарными преобразованиями приведем ее к эквивалентному виду, содержащему базис переменных:

Вторая матрица получена из первой путем поочередного умножения второй строки на 2, 3 и прибавлением соответственно к первой и третьей строкам; третья матрица получена из второй прибавлением к третьей строке первой, умноженной на –2; четвертая матрица получена из третьей умножением второй строки на –1 и третьей строки на –1/6; и наконец, последняя матрица получена прибавлением ко второй строке третьей и к первой строке третьей, умноженной на –5.

Итак, х₂=1, х₁=1, х₃=-1.

Поскольку это единственное решение, то векторы , образуют базис, в котором вектор представим в виде .