- •Введение
- •Глава 1. Введение в математический анализ
- •1.1. Логическая и математическая символика
- •1.2. Множества
- •1.3. Функции
- •1.4. Пределы функции на бесконечности
- •Предел последовательности
- •Предел функции при X -
- •1.5. Предел функции в точке
- •Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке
- •1.6. Бесконечно-малые функции и их свойства
- •1.7. Бесконечно большие функции, их свойства и связь с бесконечно малыми функциями
- •1.8. Основные теоремы о пределах
- •1.9. Первый замечательный предел
- •1.10. Второй замечательный предел
- •1.11. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •1.12. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва
- •1.13. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Глава 1. Введение в математический анализ 4
- •4. Если не существует (ни конечный, ни бесконечный), то (X), (X) называют несравнимыми б.М. При X a. 23
- •4. Всякая рациональная дробь, являющаяся отношением двух многочленов , непрерывна во всех точках, в которых многочлен q(X) не обращается в 0. 26
1.4. Пределы функции на бесконечности
Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа – понятие предела функции. Ввиду сложности для понимания этого понятия сначала дадим его описательное определение, подкрепленное примерами, а затем строгое определение.
Предел функции при x +
Пусть функция y = f(x) определена на множестве всех действительных чисел R или на бесконечном интервале (a, +).
Число b называют пределом функции f(x) при стремлении x к + (x +), если значения f(x) приближаются к числу b как угодно близко при достаточно больших x.
Обозначение: .
Пример 1. Функция y = определена на интервале (0, +). Составим таблицу ее некоторых значений и построим ее график (рис. 1.2):
x |
|
1 |
|
|
5 |
10 |
20 |
y |
4 |
3 |
|
2,5 |
2,2 |
2,1 |
2,05 |
Из таблицы видно, что значения функции приближаются к числу 2 с увеличением x.
У бедимся, что = 2.
Разность показывает, на сколько отличается f(x) от 2. Так, если x равно 10, то f(x) отличается от 2 на 1/10, а если x = 100, то f(x) – 2 = 1/100. Разность f(x) – 2 может стать меньше любого заданного положительного числа , если x взять достаточно большим. Например, = 1/1000. Чтобы определить, для каких значений x выполняется неравенство f(x) – 2 < 1/1000, надо решить это неравенство: , отсюда x > 1000.
Пусть – произвольное (малое) положительное число, тогда найдется такое x0, что f(x) – 2 < для всех x > x0. Действительно, f(x) – 2 = , < , x > . Обозначив x0 = , получаем, что для всех x, если x > x0, то f(x) – 2 < . Итак мы показали, что = 2.
Пример 2. Функция y = определена на (–2, +). Выпишем таблицу ее некоторых значений и построим график (рис. 1.3).
-
x
0
1
2
3
10
98
998
y
0
Из таблицы значений и графика (рис. 1.3) видим, что с ростом x значения f(x) приближаются к 1, оставаясь меньше 1.
Покажем, что =1. Разность f(x) – 1 отрицательна, поэтому вычислим ее абсолютную величину:
Покажем, что |f(x) – 1| может стать меньше любого заданного положительного числа при достаточно больших x. Для этого решим неравенство < , получим: 2 + x > , и x > – 2. Обозначим: x0 = 2. Таким образом, если x > x0, то | f(x) – 1| < . Например, возьмем в качестве число 0,01, тогда:
x 0 = – 2 = 300 – 2 = 298, x0 = 298.
Если x > 298, то < 0,01. Этим мы показали, что = 1 (рис. 1.3).
Дадим строгое определение предела функции при x +.
Число b называется пределом функции f(x) при стремлении x к +, если для любого положительного числа найдется такое число x0, что для всех x, больших x0, выполняется неравенство:
f(x) – b | <
Геометрическая интерпретация этого определения приведена на рис. 1.4. В логических символах это определение выглядит так:
f(x) = b означает > 0 x0 x > x0 ( | f(x) – b | < ).
Пример 3. Доказать, что = 0 x (0, +).
Д оказательство: f(x) = . Зафиксируем произвольное > 0, покажем, что найдется такое x0, что для всех x, больших x0: | f(x) – 0 | < . Действительно,
| f(x) – 0 | = = ; < x > .
Обозначим: x0 = , тогда при x > x0: |f(x) – 0 | < , значит, = 0.
Пусть для некоторой функции y = f(x) f(x )= b, геометрически это означает, что точки графика y = f(x) приближаются к точкам прямой y = b (с той же абсциссой) при неограниченном возрастании x. В этом случае говорят, что прямая y = b является асимптотой графика y = f(x) при x +. Неравенство: | f(x) – b | < равносильно двойному неравенству: b – < f(x) < b + . Из определения предела следует, что по произвольному > 0 найдется такое x0, что для всех x, больших x0, график y = f(x) заключен внутри полосы, ограниченной прямыми: y = b + , y = b – .