1.7. Бесконечно большие функции, их свойства и связь с бесконечно малыми функциями

Функция F(x) называется бесконечно большой (сокращенно б.б.) при x   (при x  ), если для любого положительного числа K существует число x₀, такое, что для всех x > x₀ выполняется неравенство: |F (x)| > K.

Функция F(x) называется бесконечно большой при x  x₀ (при x  x₀–0 или x  x₀+0 ), если для любого K > 0 существует  > 0 такое, что для любого x(x₀ – , x₀ + ), (x(x₀ – , x₀) или x(x₀, x₀ + ) соответственно) выполняется неравенство |F(x)| > K.

Очевидно, что всякая бесконечно большая функция не является ограниченной при x  a, а потому F (x) не существует.

Если F (x) – б.б. функция при x  a, то говорят, что F (x) стремится к бесконечности и пишут: F (x) = . Если при этом F (x) > 0, то пишут: F (x) = ; если же F(x) < 0, то пишут: F (x) = .

Пример 1. F₁(x) = x² является б.б. при x   и x  , причем F₁(x) > 0, поэтому можно записать: x² =  , x² =  .

Пример 2. F₂(x) = является б.б. при x  0, причем

F₂(x) = , а F₂(x) =  .

Следующие две теоремы устанавливают связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями.

Теорема 1. Если функция F(x) является б.б при x  a, то функция – б.м. при x  a.

Доказательство. Пусть F(x) – б.б. при x  x₀–0, покажем, что – б.м. при x  x₀–0. Зафиксируем произвольное  > 0 и покажем, что найдется  > 0 такое, что для всех x(x₀ – , x₀) выполняется неравенство: | | < .

По определению функции б.б. при x x₀–0 для числа K = найдется такое  > 0, что x(x₀–, x₀) будет выполняться неравенство: |F(x)| > , откуда <  для x(x₀ – , x₀), т.е. – б.м. при x  x₀ –0.

Теорема 2. Если (x) – б.м. при x  a и (x)  0, то – б.б. при x  a.

Доказательство. Доказательство аналогично предыдущему.

Теоремы 1 и 2 позволяют получить свойства б.б. функций, аналогичные свойствам б.м. функций.

Свойство 1. Если F₁(x), F₂(x) – б.б. при x  a, то функция F₁(x), F₂(x) – б.б. при x  a.

Свойство 2. Если F₁(x), F₂(x) – б.б. функции при xa, причем F₁(x) > 0 и F₂(x) > 0 (т.е. F₁(x)=+, F₂ (x) = + ), то функция F₁(x) + F₂(x) – б.б. при x  a.

Свойство 3. Если F(x) – б.б. при x  a и число C  0, то CF(x) – б.б. при x  a.

Замечание. Если F₁(x) и F₂(x) – б.б. функции при x  a, но имеют разные знаки, то F₁(x) + F₂(x) может быть как б.б., так и б.м. при x a, как иметь предел при x  a, так и не иметь его.

1.8. Основные теоремы о пределах

Теорема 1. Если f(x) = b, то f(x) = b + (x), где (x) – б.м. при x  a.

Доказательство. Пусть f (x) = b. Рассмотрим функцию (x) = f(x) – b и покажем, что (x) – б.м. при x  + .

Из определения f (x) = b имеем, что  > 0 x₀ x > x₀ |f (x) – b| < , но так как (x) = f(x) – b, то  > 0 x₀ x > x₀ | (x)| <  , а это означает, что (x) – б.м. при x  +.

Итак, из равенства (x) = f(x) – b имеем f(x) = b + (x), где (x) – б.м. при x  +.

Теорема 2. Если функцию f(x) можно представить в виде: f (x) = b + (x), где b – число, (x) – б.м. функция при x  a, то f(x) = b.

Доказательство. Пусть f(x) = b + (x), где (x) – б.м. при x  +, т.е.

 > 0 x₀ x > x₀ |(x)| < . (*)

Но (x) = f (x) – b, поэтому (*) можно записать так:  > 0 x₀ x > x₀ |f (x) – b| < , что означает: f (x) = b.

Следующие теоремы значительно облегчают нахождение пределов.

Теорема 3. Предел суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) их пределов, т.е. если

f₁(x) = b₁, f₂(x) = b₂, то (f₁(x) + f₂(x)) = b₁ + b₂, (f₁(x) – f₂(x) ) = b₁ – b₂.

Доказательство. На основании теоремы 1: f₁(x) = b₁ + ₁(x), f₂(x) = b₂ + ₂(x), где ₁(x), ₂(x) – б.м. при x a, тогда

f₁(x) + f₂(x) = (b₁ + ₁(x)) + (b₂ + ₂(x)) = (b₁ + b₂) + (₁(x) + ₂(x)).

Но ₁(x) + ₂(x) – б.м. функция при x a (как сумма двух б.м. функций), поэтому из равенства f₁(x) + f₂(x) = (b₁ + b₂) + (₁(x) + ₂(x)) по теореме 2 следует, что

( f₁(x) + f₂(x)) = b₁ + b_2.

Аналогично проводится доказательство для разности.

Теорема 4. Предел произведения двух функций равен произведению их пределов, т.е. если f₁(x) = b₁, f₂(x) = b₂, то (f₁(x)f₂(x)) = b₁b₂.

Доказательство. По теореме 1: f₁(x) = b₁ + ₁(x), f₂(x) = b₂ + ₂(x), где ₁(x), ₂(x) – б.м. при x a, тогда f₁(x)f₂(x) = b₁b₂ + b₁₂(x) + b₂₁(x) + ₁(x)₂(x).

На основании следствий 2, 3, теоремы 1 (разд. 1.6) функции b₁₂(x), b₂₁(x), ₁(x)₂(x) – б.м. при x a и (x) = b₁₂(x) + b₂₁(x) + ₁(x)₂(x) – бесконечно малая функция при x a. Из равенства f₁(x)f₂(x) = b₁b₂ + (x) по теореме 2 следует, что (f₁(x)f₂(x)) = b₁b₂.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е. (Сf(x)) = С f(x), где С – постоянное число.

Доказательство. Сf(x) = С f(x) = С f(x), так как С = С.

Следствие 2. Если n – натуральное число, то [(f(x))ⁿ] = ( f(x))ⁿ.

Теорема 5. Предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя при условии, что предел знаменателя не равен нулю. Иначе, если f₁(x) = b₁, f₂(x) = b₂ и b₂ 0, то .

Доказательство. По теореме 1: f₁(x) = b₁ + ₁(x), f₂(x) = b₂ + ₂(x), где ₁(x), ₂(x) – б.м. при x a, тогда

Обозначим последнюю дробь (x) = , тогда + (x). Остается показать, что (x) – б.м. при x a. Действительно, числитель дроби b₂₁(x) – b₁₂(x) – б.м. по свойствам бесконечно малых функций, предел (b₂² + b₂₂(x)) = b₂² 0, на основании теорем 3, 4. Поэтому – функция,ограниченная при x a (по теореме 3 разд. 1.6). Значит, (x) – б.м. при x a (по теореме 4 разд. 1.6). Теорема доказана.

Рассмотрим применение доказанных теорем при нахождении пределов.

Пример. Найти .

Решение. Найдем сначала предел числителя и знаменателя. По свойствам пределов 3x = 3 x = 3(–2) = –6, 1 = 1, поэтому (3x – 1) = –6 – 1 = –7. Аналогично, (5 – 4x) = 5 – 4(–2) = 13. Используя теорему 5, получим:

.

Теорема 6. Если f(x) существует и f(x) 0 для всех x из области определения функции, то f(x) 0.

Доказательство. Пусть . Докажем методом от противного, предполагая, что f(x) = b< 0. Зафиксируем = – , > 0. По определению предела по  найдется x₀, такое, что x > x₀ |f(x) – b| < , отсюда b – < f (x) < b + . Но = – , поэтому x > x₀ f(x) < b – , f(x) < , т.е. f(x) < 0, что противоречит условию. Теорема доказана.

Теорема 7. Если x (f₁(x) f₂(x)) и f₁(x), f₂(x) существуют, то f₁(x)  f₂(x).

Доказательство. Рассмотрим функцию F(x) = f₁(x) – f₂(x), тогда x (F (x) 0) и F(x) существует. По теореме 6: F(x) 0, (f₁(x) – f₂(x)) 0, отсюда f₁(x)  f₂(x). Теорема доказана.

Теорема 8. (теорема о сжатой переменной). Если x (f₁(x) (x) f₂(x)) и f₁(x) = f₂(x) = b, то (x) существует и равен b.

Д оказательство

Пусть f₁(x) = f₂(x) = b (рис. 1.11).

Покажем, что (x) = b. Зафиксируем > 0, тогда найдется такое ₁ > 0, что

x(x₀, x₀ + ₁) |f₁(x) – b| < ,

и найдется такое ₂ > 0, что

x(x₀, x₀ + ₂) |f₂ (x) – b| < .

Обозначим через  меньшее из ₁, ₂, тогда для x(x₀, x₀ + ) эти неравенства будут выполняться одновременно. Преобразуем их, используя определение модуля:

x(x₀, x₀ + ) (b – < f₁(x) < b + ,

x(x₀, x₀ + ) (b – < f₂(x) < b + .

И учтем данное неравенство:

f₁(x) (x) f₂(x).

Тогда из этих неравенств получим: b – < f₁(x) (x) f₂(x) < b + , откуда b – < (x) < b +  или x(x₀, x₀ + ) (|(x) – b| < ), по определению это означает, что (x) = b, что и требовалось доказать.