9 Дифференциал функции.

1. Приращение ∆у дифференцируемой функции у=f(x) может быть представлено в виде:

∆у= f'(x) ∆x + a (∆x) ∆x, где ∆x- приращение независимой переменной.

2. Дифференциалом функции у=f(x) называется главная, линейная относительно ∆x часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

Dy= f'(x) ∆x/

Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dx=∆x/

Свойства дифференциала:

1. dc=0, c- const.

2. d(u±v)=du±dv.

3. d(u/v)=vdu-udv/v².

4. d(cu)=c du.

5. d(uv)=v du + u dv.

6. dy=f'(u)du.

10. Неопределенный интеграл.

1. Функция F(х) называется первообразной для функции f(х) на промежутке Х, если в каждой точке х этого промежутка справедливо равенство F'(x)=f(x).

Совокупность всех первообразных для функцииf(x) на промежутке Х называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается [f(x)dx:

[f(x)dx=F(x)+C

f(x)-подынтегральная функция, f(x)dx-подынтегральное выражение, С-произвольная постоянная.

Нахождение неопределенного интеграла называется интегрированием.Операции интегрирования и дифференцирования являются взаимно обратными.

Свойства интеграла:

1. ([f(x)dx)'=f(x)

2. d([f(x)dx)= f(x)dx

3. [dF(x)=F(x)+C

4. [af(x)dx=a[f(x)dx

5. [f(x)±g(x))dx=[f(x)dx±[g(x)dx.

Табличные интегралы.

1. [0dx=C

2. [xⁿdx=xⁿ⁺¹/n+1

3. [dx/x=lnx+C

4. a^xdx=a^x/ln a+C

5. [e^xdx=e^x+C

6. sin x dx=-cos x+C

7. cos xdx=sinx+C

8. dx/cos²x=tg x+C

9. [dx/sin²x=-ctg x+C

10. [dx/a²+x²=1/a arctg x/a +C

11. [dx/x²-a² =1/2a ln│x-a/x+a│+C

Метод замены переменной.

Пусть х=ω(t)-непрерывно дифференцируема на рассматриваемом промежутке. Тогда [f(x)dx=[f(ω(t))ω'(t)dt.

Формула интегрирования по частям. ∫u dv=uv-∫v du.