3.3. Линейные операторы

1. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору х пространства Rⁿставится в соответствие единственный вектор у про­странства R^m, то говорят, что задан оператор (преобразование, ото­бражение) А(х), действующий из Rⁿ в R^m: у = А(х).

Рассматриваем случай, когда пространства Rⁿ и R^m совпадают.

2. Оператор А называется линейным, если для любых векторов x, у пространства Rⁿ и любого числа λ верны соотношения:

А(х+y)=A(x)+А(у),

А(λх) = λА(х).

3. Вектор у = А(х) называется образом вектора x, а сам вектор х — прообразом вектора у.

Связь между вектором х и его образом у = А(х) может быть пред­ставлена в виде:

У = Ах,где А — матрица линейного оператора; х = (x_ux₂ ..., х_n)' , y=(y₁,y₂,…,y_n)' векторы, записываемые в виде вектор-столбцов.

4. Сумма и произведение линейных операторов, а также произве дение линейного оператора на число определяются равенствами:

(Ấ+B)(х) = Ấ(х)+ В(х),

(ẤB)(х)=Ấ(В(х)),

λẤ(х)=λ(Ấ(х)).

5. Нулевым О(х) и тождественным Е(х) называются операторы, действующие по правилу:

О(х) = О,

Е(х) = х.

6. Матрицы А и А* линейного оператора Ấ в базисах (в₁, е₂, …, е_п) и (е₁,е*_г, ..., е*_n) связаны соотношением: А*=C^-1АС,

где С — матрица перехода от старого базиса к новому¹.

3.4. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора (матрицы)

1. Вектор x≠О называется собственным вектором линейного опе­ратора Ấ (или матрицы А), если найдется такое число λ,, что

Ấ(х) = λх |или Ax=λх.

Число λ называется собственным (характеристическим)значением оператора Ấ(или матрицы А), соответствующим вектору х.

Определение может быть записано в виде:

(А-λЕ)х=0.

2. Характеристическим уравнением оператора А (или матрицы А) называется уравнение:

А₁₁-λ а₁₂ … а_1n

А ₂₁ а₂₂-λ … а_2n

(А-λЕ)= … … … …

А_n1 a_n2 … a_nn-λ

где определитель |А-λЕ| называется характеристическим многочле­ном оператора Ấ(или матрицы А).

Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

3. Матрица оператора Ấ в базисе, состоящем из его собственных векторов с собственными значениями λ₁,λ₂,…,λ_n диагональной:

А* = diag(λ₁,λ₂,…,λ_n).

И обратно, если матрица А линейного оператора Ấ в некото­ром базисе является диагональной, то все векторы этого азиса — собственные векторы оператора Ấ с собственными зна­чениями λ₁,λ₂,…,λ_n.

3.5 Линейная модель обмена (модель международной торговли)

Линейная модель обмена {модель международной торговли) по­зволяет найти национальные доходы стран (или их соотношение) для сбалансированной торговли.

Пусть х = (х₁, х_2,…, х_n) вектор национальных доходов стран S₁,S₂..., S_n, а А_n*n=(a_ij) – структурная матрица торговли,где a_ij –доля национального дохода, которую страна S_j тратит на покупку товаров у страны S_i ,

причем ∑ a_ij =1.Для сбалансированной торговли необходимо найти такой равно­весный вектор национальных доходов х, чтобы Ax=x.Задача свелась к отысканию собственного вектора x отвечающего собственному значению λ = 1.