3.3 Бюджетна лінія. Оптимум споживача

Карта байдужості представляє собою графічне відображення системи переваг споживача. Природно, споживач прагне придбати товарний набір, що належить найбільш віддаленої від початку координат кривої байдужості. Але він обмежений у своїх засобах. Далеко не всякий товарний набір йому доступний. Для зображення безлічі доступних споживачеві товарних наборів використовується бюджетна лінія.

Позначимо місячний дохід споживача через I. Для спрощення припустимо, що споживач не робить ніяких заощаджень і весь свій дохід витрачає на придбання тільки двох товарів X і Y. Бюджетне обмеження споживача можна записати у формі наступного рівності:

I = P _{X X} + P _{Y Y} (3.10)

Бюджетне обмеження має очевидний сенс: дохід споживача дорівнює сумі його витрат на купівлю товарів X і У. Перетворимо рівність (3.10) до наступного вигляду:

Y = I / Р _X Х + I / P _{Y Y} (3.11).

Ми отримали рівняння бюджетної лінії, або, як її ще називають, лінії цін. На рис. 3.8 ця лінія спочатку займає положення KL.

Точки перетину бюджетної лінії з осями координат можна отримати наступним чином. Якщо споживач весь свій дохід / витратить тільки на покупку товару X, то він зможе придбати I / P _X одиниць цього товару. Тому довжина відрізка OL рівна I / P _X.

Аналогічно можна показати, що довжина відрізка ОК дорівнює 1 / Р _Y. Нахил бюджетної лінії дорівнює-Р _X / Р _Y - коефіцієнту при X в рівнянні (3.11).

Усі товарні набори, відповідні точкам на бюджетній лінії, коштують рівно / руб. і є тому доступними для нашого споживача. Усі товарні набори, розташовані вище і правіше бюджетної лінії, коштують більше I руб. і недоступні для споживача. Таким чином, бюджетна лінія обмежує зверху безліч доступних для споживача товарних наборів. Як зміниться положення бюджетної лінії при зміні доходу споживача і цін на товари? Припустимо спочатку, що дохід споживача зменшується до I <I, ціни на товари при цьому залишаються незмінними.

Нахил бюджетної лінії не зміниться, оскільки він визначається тільки співвідношенням цін. Отже, відбудеться паралельний зсув бюджетної лінії вниз. Вона займе положення К'L '. При збільшенні доходу та незмінних цінах буде спостерігатися паралельний зсув бюджетної лінії вгору. Припустимо тепер, що дохід і ціна товару X незмінні, ціна ж товару Y знизилася до Р _Y <Р _Y. Очевидно, що в цьому випадку точка L не змінить свого положення, оскільки воно визначається незмінними I і Р _X. Лівий же кінець бюджетної лінії зрушиться вгору і займе положення К ".

Читач може без праці визначити, що трапиться з бюджетною лінією при підвищенні Р _Y, підвищенні або зниженні Р _X.

Сумісний тепер на рис. 3.9 карту байдужості нашого споживача з його бюджетною лінією KL.

Який товарний набір вибере споживач? З усіх доступних для нього наборів споживач вибере той, який належить найбільш віддаленої від початку координат кривої байдужості. Саме цей набір забезпечить йому максимум задоволення.

Споживач не вибере точку А, в якій бюджетна лінія перетинає деяку криву байдужості, адже при русі вздовж бюджетної лінії вправо вниз споживач може перейти до товарних наборам, лежачим на більш віддалених від початку координат кривих байдужості. З аналогічних причин споживач не вибере точку В. Він вибере точку Е, в якій бюджетна лінія лише торкається деякої кривої байдужості U _2. Оптимальний для споживача товарний набір Е містить X _E одиниць товару X та Y _E одиниць товару Y.

У точці Е нахили бюджетної лінії та кривої байдужості збігаються. Нагадаємо, що нахил бюджетної лінії дорівнює-Р _X / Р _Y, нахил кривої байдужості дорівнює-MRS _XY.

Тому в точці оптимуму виконується рівність:

Р _X / Р _Y = MRS _XY (3.12)

Умова оптимуму споживача (3.12) можна інтерпретувати наступним чином.

Співвідношення, в якому споживач при даних цінах здатний заміщати один товар іншим, дорівнює співвідношенню, в якому споживач згоден заміщати один товар іншим без зміни рівня свого задоволення.

Рівність (3.12) в порядкової теорії корисності має такий же зміст, що і рівність (3.4) в кількісній теорії. Дійсно, згідно (3.8):

MRS _XY = MU _X / MU _Y

Підставивши (3.8) в (3.12), отримуємо умову оптимуму споживача в наступному вигляді:

Р _X / Р _Y = MU _X / MU _Y або MU _X / Р _X = MU _Y / Р _Y (3.13)

Останнє рівність збігається з рівністю (3.4).

Оптимальне рішення, представлене на рис. 3.9, називають часто внутрішнім, оскільки точка Е лежить "всередині" двовимірного простору товарів, точніше - його I квадранта. Однак у деяких ситуаціях бюджетна пряма і крива байдужості мають різний нахил на всьому їх протязі і, значить, точки дотику їх взагалі не існує.

У цьому випадку оптимальне рішення визначається положенням, найбільш близьким до торкання, і називається кутовим. Воно визначається перетином бюджетної прямої, однієї з осей координат та кривої байдужості.

На рис. 3.10 бюджетна пряма KL обмежена точками К, де X = 0, і L, де Y = 0.

Оптимум споживача досягається або в точці К (рис. 3.10, о), якщо:

MRS _XY ≤ Р _X / Р _Y

або в точці L (рис. 3.10, б), якщо:

MRS _XY ≥ Р _X / Р _Y

У першому випадку нахил кривої байдужості в точці К менше або дорівнює нахилу бюджетної прямої, у другому нахил кривої байдужості в точці L більше або дорівнює нахилу бюджетної прямої.

З усіх доступних споживачеві наборів набір К (рис. 3.10, а) і набір L (рис. 3.10,6) лежать на найбільш віддалених від початку координат кривих байдужості.

Набір До не містить товару X, набір L - товару Y. Природно, для точок К і L умова (3.12) може і не виконуватися.

Кутове рішення в порядкової теорії корисності відповідає умові (3.5) в кількісній теорії.