Задание № 25.

1. Математическая постановка и решение двух основных задач динамики точки.

2. Материальная точка массой m = 2 кг движется по шероховатой горизонтальной поверхности под действием силы F = 2, Н с постоянной скоростью. Принимая величину ускорения свободного падения равной 10 м/с². Определить коэффициент трения скольжения.

3. Материальная точка массой m = 2 кг движется относительно инерциальной системы отсчета по окружности радиусом R = 5 м с постоянной скоростью v = 5 м/с. Как направлена и чему равна сила инерции точки?

4. Горизонтальный диск радиуса R = 3 м вращается относительно вертикальной оси, проходящей через его центр, с постоянной угловой скоростью . По ободу диска с постоянной скоростью u движется материальная точка массой m. Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде. Из каких составляющих будет складывать сила инерции точки? Запишите величину каждой из составляющих силы инерции.

5. Однородный круглый диск массой m₁ = 2 кг катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Скорость центра диска постоянна и равна v₁= 4 м/с. По ободу диска, в сторону противоположную вращению, движется материальная точка массой m₂ = 0.5 кг с постоянной скоростью v₂ = 3 м/с. Вычислите количество движения данной механической системы в момент времени, когда радиус, соединяющий точку и центр диска, образует с горизонтальной прямой угол  = 60^о.

6. Однородная квадратная пластина со стороной a, м и массой m, кг вращается вокруг оси, проходящей через одну из ее вершин перпендикулярно плоскости пластины, с угловой скоростью , с^-1. Вычислите кинетический момент данной механической системы.

7. Колесо радиуса R, м и массой m, кг катится без скольжения по прямолинейному горизонтальному рельсу под действием постоянного вращающего момента M_вр, f – коэффициент трения скольжения,  – коэффициент трения качения. Вычислите сумму работ всех внешних сил, действующих на колесо, если центр тяжести колеса переместился на расстояние s.

8. Материальная точка массой m = 2 кг начинает движение из состояния покоя и движется вдоль пространственной кривой под действием силы, проекция которой на направление касательной равна F_ = 2s² + 3s + 5, Н, где s– дуговая координата. Начало отчета совмещено с начальным положением точки. Вычислите скорость точки к тому моменту, когда она пройдет вдоль кривой расстояние 10 м.

9. Однородный круглый горизонтальный диск массой m₁ = 2, кг и радиусом R = 3, м вращается относительно неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр, по закону (t) = sin(t²/2), рад. По ободу диска в направлении вращения движется материальная точка массой m₂ = 4, кг по закону s_r(t) = t³/3, м. Вычислите кинетическую энергию данной системы.

Задание № 26.

1. Интегрирование дифференциального уравнения прямолинейного движения точки под действием силы, зависящей только от времени.

2. Материальная точка движется вдоль оси OX. Скорость точки изменяется по закону v(t) = 5t² + 3, мс^-1. Начальная координата точки x₀ = 2 м. Определить путь, который пройдет точка к моменту времени t = 3 c.

3. Материальная точка массой m движется относительно инерциальной системы отсчета по закону r(t) = 3ti + sin(t)j + 4t³k. Вычислите вектор силы инерции точки.

4. Платформа движется в вертикальной плоскости прямолинейно вдоль оси OX по закону x_п(t) = 4t³ + 5t + 4, м. Относительно платформы также прямолинейно движется материальная точка массой m по закону x_r = 2sin(t). Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде и в проекциях на оси декартовой системы координат OX, OZ.

5. Материальная точка массой m = 0.1 кг движется горизонтально под действием постоянной силы. За промежуток времени  = 2 с скорость точки возросла с величины v₁ = 3 м/с до v₂ = 9 м/с. Вычислите величину силы, действующей на точку.

6. Материальная точка массой m = 2 кг движется относительно декартовой системы координат по закону x(t) = 2t³, y(t) = 3t², z(t) = 4t. Вычислите момент количества движения точки относительно координатных осей OY, OZ.

7. Однородный круглый цилиндр массой m₁, кг и радиусом R, м, вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси OX, проходящей через его центр. На боковую поверхность цилиндра наматывается невесомая нить, к которой прикреплен груз массой m₂, кг. Запишите дифференциальное уравнение вращения цилиндра, если на него действует пара сил с моментом M_x = bt² + a, Нм.

8. Материальная точка массой m, кг падает вертикально вниз без начальной скорости. Выразите мощность силы тяжести, действующей на точку как функцию времени.

9. Прямоугольная призма массой m₁, кг движется поступательно по гладкой горизонтальной плоскости со скоростью v м/с. По боковой поверхности призмы, наклоненной под углом  к горизонту, скользит тело массой m₂, кг, имея в данный момент времени относительную скорость u, м/с. Вычислите кинетическую энергию данной механической системы.