Анализ статистической значимости параметров модели парной регрессии

Значения , соответствующие данным при теоретических значениях и являются случайными. Случайными являются и рассчитанные по ним значения коэффициентов и .

Надежность получаемых оценок и зависит от дисперсии случайных отклонений (ошибок). По данным выборки эти отклонения и, соответственно, их дисперсия не оцениваются – в расчетах используются отклонения зависимой переменной от ее расчетных значений : . Так как ошибки (остатки) нормально распределены, то среднеквадратическое отклонение ошибок используется для измерения этой вариации. Среднеквадратические отклонения коэффициентов известны как стандартные ошибки (отклонения):

(3.17)

где - среднее значение независимой переменной х;

стандартная ошибка, вычисляемая по формуле (3.16);

.

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t–статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

(3.18)

Затем расчетные значения сравниваются с табличными t_табл. Табличное значение критерия определяется при (n-2) степенях свободы (n - число наблюдений) и соответствующем уровне значимости  (0,1; 0,05)

Если расчетное значение t-критерия с (n - 2) степенями сво­боды превосходит его табличное значение при заданном уровне зна­чимости, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует ис­ключить из модели (при этом ее качество не ухудшится).

Интервальная оценка параметров модели

Для значимого уравнения регрессии представляет интерес построение интервальных оценок для параметра :

(3.19)

свободного члена :

где t_табл определяется по таблице распределения Стьюдента для уровня значимости  и числа степеней свободы k = n - 2;

, – стандартные отклонения, соответственно, свободного члена и коэффициента модели (3.6);

n – число наблюдений.

Прогнозирование с применением уравнения регрессии

Регрессионные модели могут быть использованы для прогнозирования возможных ожидаемых значений зависимой переменной.

Прогнозируемое значение переменной получается при подстановке в уравнение регрессии

(3.20)

ожидаемой величины фактора . Данный прогноз называется точечным. Значение независимой переменной не должно значительно отличаться от входящих в исследуемую выборку, по которой вычислено уравнение регрессии.

Вероятность реализации точечного прогноза теоретически равна нулю. Поэтому рассчитывается средняя ошибка прогноза или доверительный интервал прогноза с достаточно большой надежностью.

доверительные интервалы, зависят от стандартной ошибки (3.16), удаления от своего среднего значения , количества наблюдений n и уровня значимости прогноза α. В частности, для прогноза (3.20) будущие значения с вероятностью (1 - α) попадут в интервал

.

Пример 2.

Используя данные примера 3.1, оценить накопления семьи, имеющей доход 42 тыс. $ и отобразить на графике исходные данные, результаты моделирования и прогнозирования.

Решение

В примере1. была построена модель зависимости накопления от дохода:

.

Для того, чтобы определить накопления семьи при доходе 42 тыс.$ необходимо подставить значение х_прогн в полученную модель.

y_{прогноз} = - 2.184+0.143*42= 3.827

Величину отклонения от линии регрессии вычисляют по формуле , используя данные таблицы 3.4. Величину находят по формуле (3.16):

= = 0.9112

Табл. 3.4.

Наблюдение	Накопления	Предсказанное Y	Остатки	^2
	Y		
1	3	3.541	-0.5406	0.2923
2	6	5.688	0.3125	0.0977
3	5	4.256	0.7438	0.5532
4	3.5	2.109	1.3906	1.9338
5	1.5	2.109	-0.6094	0.3713
6	4.5	4.972	-0.4719	0.2227
7	2	2.825	-0.8250	0.6806
Сумма	25.5	25.500	0.0000	4.1516

Коэффициент Стьюдента для m=5 степеней свободы (m=n-2) и уровня значимости 0.1 равен 2.015. Тогда

U_{(x=42,n=7,=0.1)} = =

= = =1.965

Таким образом, прогнозное значение =3.827 будет находиться между верхней границей, равной 3.827+1.965=5.792 и нижней границей, равной 3.827-1.965=1.862.

График исходных данных и результаты моделирования приведены на рисунке 3.5

Рисунок 3.5. График модели парной регрессии зависимости накопления от дохода.

Применение инструмента Регрессия (Анализ данных в EXCEL).

Для проведения регрессионного анализа выполните следующие действия:

1. Выберите команду СервисАнализ данных.

2. В диалоговом окне Анализ данных выберите инструмент Регрессия, а затем щелкните на кнопке ОК

3. В диалоговом окне Регрессия в поле Входной интервал Y введите адрес одного диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х введите адреса одного или нескольких диапазонов, которые содержат значения независимых переменных (Рисунок 4.1.).

4. Если выделены и заголовки столбцов, то установить флажок Метки в первой строке.

5. Выберите параметры вывода. В данном примере Новая рабочая книга

6. В поле Остатки поставьте необходимые флажки.

7. ОК.

Рисунок 4.1. Диалоговое окно Регрессия подготовлено к выполнению анализа данных.

Результат регрессионного анализа содержится в таблицах 4.4 –4.7. Рассмотрим содержание этих таблиц.

Таблица 4.4.

Регрессионная статистика
Множественный R	0.927
R-квадрат	0.859
Нормированный R-квадрат	0.837
Стандартная ошибка	41.473
Наблюдения	16.000

Таблица 4.5

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	2	136358.334	68179.167	39.639
Остаток	13	22360.104	1720.008
Итого	15	158718.438

Таблица 4.6

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	-1471.314	259.766	-5.664
Реклама	9.568	2.266	4.223
Индекс потребительских расходов	15.753	2.467	6.386

Таблица 4.7

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное	Остатки
1	142,25	-16,25
2	124,70	12,30
3	159,24	-11,24
4	242,35	-51,35
5	247,02	26,98
6	307,06	62,94
7	361,20	70,80
8	416,80	28,20
9	424,18	-57,18
10	350,32	16,68
11	345,37	-24,37
12	334,72	-27,72
13	386,79	-55,79
14	352,05	-7,05
15	353,23	10,77
16	361,73	22,27

Пояснения к таблице 4.4.

Регрессионная статистика
№	Наименование в отчете EXCEL	Принятые наименования	Формула
1	Множественный R	Коэффициент множественной корреляции, индекс корреляции
2	R-квадрат	Коэффициент детерминации, R^2
3	Нормированный R-квадрат	Скорректированный R^2
4	Стандартная ошибка	Стандартная ошибка оценки
5	Наблюдения	Количество наблюдений, n	n

Пояснения к таблице 4.5.

	Df – число степеней свободы	SS – сумма квадратов	MS	F – критерий Фишера
Регрессия	k =2		/k
Остаток	n-k-1 = 13
Итого	n-1 = 15

Пояснения к таблице 4.6.

Во втором столбце таблицы 4.6. содержатся коэффициенты уравнения регрессии a₀, a₁, a_2. В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом - t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии зависимости объема реализации от затрат на рекламу и индекса потребительских расходов можно записать в следующем виде:

y = -1471.314 + 9.568х₁ + 15.754х₂

3.Оценка качества всего уравнения регрессии

В таблице 4.7 приведены вычисленные (предсказанные) по модели значения зависимой переменной Y и значения остаточной компоненты .

Значение коэффициентов детерминации и множественной корреляции можно найти в таблице Регрессионная статистика.